Seminario de matemática discreta
Código: 100098 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso |
|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OB | 2 |
Contacto
- Nombre:
- Francesc Bars Cortina
- Correo electrónico:
- francesc.bars@uab.cat
Equipo docente
- Laura Brustenga Moncusi
- Guillem Quingles Daví
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Álgebra Lineal y Fundamentos de las Matemáticas, del primer curso del Grado de Matemáticas.
Objetivos y contextualización
La matemática discreta es el área de las matemáticas dedicada al estudio de objetos finitos o más en general objetos discretos. Se ocupa de temas como combinatoria, grafos, criptografía, códigos correctores de errores, diseños combinatorios, teoria de juegos, lógica, optimización o diseño y análisis de algoritmos para resolver problemas en cada uno de aquellos ámbitos. La mayor parte de la matemática discreta se ha desarrollado hace relativamente poco tiempo a raíz de problemas relacionados sobretodo con la informática y la optimización. Los temas de este curso introductorio son bastante independientes entre sí y requieren solamente conocimientos de álgebra lineal, aritmética modular, combinatoria básica y, fundamentalmente, lenguaje y razonamiento matemáticos.
El curso empieza con las funciones generadoras y las sucesiones recurrentes. Se trata de una continuación natural de la combinatoria estudiada en la asignatura de primer curso Fundamentos de las Matemáticas. Los problemas de este tema requieren una vez más el ejercicio de traducir un enunciado al lenguaje matemático. Los grafos son una herramienta básica para resolver problemas de origen muy diverso, que va desde la matemática más abstracta hasta la investigación operativa. En algunos casos, la simple traducción del problema al lenguaje de los grafos ya resulta esclarecedora y muy eficaz.
El tercer tema del curso, si el tiempo lo permite, es la optimización combinatoria, que se ocupa de cuestiones combinatorias en las que no se trata de contar objetos de un tipo concreto sino de buscar los "óptimos" de acuerdo con cierto criterio. Las respuestas en este caso no van a ser fórmulas sino algoritmos para encontrar o aproximarse a dichos óptimos. Las técnicas necesarias aquí van a ser el Álgebra Lineal (para optimizar funciones lineals de varias variables con restricciones lineales pero donde los valores de las variables a menudo serán discretos) y las matroides.
Así pues, a lo largo del curso se presentaran diferentes ejemplos de aplicaciones de las matemáticas en los que, usando herramientas relativamente simples y una buena dosis de ingenio, se resolveran problemas interesantes y difíciles. A su vez, los estudiantes podran practicar, por medio de los ejercicios de combinatoria y de optimización, la primera fase en modelización matemática: entender un problema y traducirlo al lenguaje matemático adecuado para su resolución.
Competencias
- Ante situaciones reales con un nivel medio de complejidad, recabar y analizar datos e información relevantes, proponer y validar modelos utilizando herramientas matemáticas adecuadas para, finalmente, obtener conclusiones.
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Resultados de aprendizaje
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Conocer el lenguaje y las aplicaciones más elementales de la teoría de grafos, así como algoritmos de resolución de problemas en grafos.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Plantear problemas de ordenación y enumeración y utilizar técnicas eficientes para su resolución.
- Plantear problemas reales como problemas de programación matemática.
- Plantear y resolver problemas de programación lineal.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
- Utilizar técnicas computacionales para resolver problemas de optimización.
Contenido
1. Funciones generadoras y sucesiones recurrentes.
- Definición de función generadora. Técnicas de cálculo. Resolución de problemas combinatorios con funciones generadoras.
- Sucesiones recurrentes. Recurrencias lineales de primer y de segundo orden.
- Resolución de relaciones de recurrencia usando funciones generadoras.
2. Grafos.
- Definición y algunos modelos matemáticos con grafos.
- Terminología básica y algunos tipos de grafos.
- Representación de grafos, isomorfismos de grafos.
- Caminos y circuitos.
- Árboles.
3. Optimización combinatoria.
- Introducción. Ejemplos.
- Programación lineal. El método del simplex.
- Matroides.
4. Seminarios de introducción muy breve a otros temas de Matemática Discreta.
Actividades formativas y Metodología
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de teoría | 28 | 1,12 | |
| Prácticas con ordenador | 8 | 0,32 | |
| Sesiones de problemas | 16 | 0,64 | 10 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Entrevista sobre la preparación del tema del seminario | 0 | 0 | 7, 8, 9 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio personal de teoría | 26 | 1,04 | 7, 8, 10 |
| Estudio y preparación en grupo del tema que se va a presentar en la asignatura | 15 | 0,6 | 7, 8, 9 |
| Hacer problemas | 36 | 1,44 | 10 |
| Práctica autónoma de resolución de ejercicios con ordenador | 8 | 0,32 | 10 |
El trabajo presencial constará de:
- Teoria. El profesor expondrá los fundamentos teóricos y algunas demostraciones del curso.
- Asimismo, los alumnos grabaran un vídeo y trabajaran en grupos de cuatro estudiantes sobre temas concretos o aplicaciones, en formato de seminario breve:
- En un documento se propondrán varios temas. Cada equipo escogerá un tema y lo trabajará de forma autónoma.
- El resultado del trabajo se presentará por escrito y también en forma de vídeo público de 12 minutos.
- Problemas (seminarios). Los estudiantes dispondrán de listas de problemas que deberán trabajar antes de la clase para el aprovechamiento de la discusión posterior en el aula.
- Prácticas de ordenador con el software SageMath. Las tres primeras sesiones corresponderán a los tres temas. La cuarta sesión incluirá ejercicios de los tres temas y serà evaluable.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Evaluación de la presentación en vídeo y escrita del trabajo de seminario | 0.15 | 1 | 0,04 | 1, 3, 7, 8, 9, 10, 11 |
| Examen de prácticas | 0.20 | 2 | 0,08 | 6, 4, 12 |
| Examen de recuperación | 0.65 | 4 | 0,16 | 2, 6, 4, 5 |
| Examen final | 0.45 | 4 | 0,16 | 2, 6, 4, 5 |
| Examen parcial | 0.2 | 2 | 0,08 | 2, 6, 4, 5, 10 |
Hay cuatro actividades evaluables: un examen parcial, un examen de prácticas, un trabajo de seminario y un examen final.
La nota de la asignatura se calcula según la fórmula siguiente:
0.2 nota del examen parcial + 0.2 nota del examen de prácticas + 0.15 nota trabajo seminario + 0.45 nota del examen final
Evaluación recuperable: se recuperará solamente los exámenes escritos (65%). Para poder presentarse a la recuperación es necesario haber participado, al menos, en tres de las cuatro actividades evaluables del curso.
Se otorgará la calificación de "no evaluable" a aquel estudiante que haya participado en un máximo de dos actividades evaluables, no siendo ninguna de ellas el examen final.
La asignatura Seminario de Matemática Discreta NO puede ser elegible como Avaluación Única, por tanto debe hacerse un seguimiento durante el curso de la parte práctica como la de seminarios.
Bibliografía
Bibliografía general:
Aigner, M. "Discrete Mathematics", AMS 2007.
Basart, J.M. , Rifà, J, and Villanueva, M. "Fonaments de matemàtica discreta. Elements de combinatòria i d'aritmètica". Col. Materials de la UAB, n. 36. 1997.
Basart, J.M. "Grafs: fonaments i algoritmes", Col. Manuals de la UAB, n. 13, 1998.
Comellas, F, Fàbrega,J., Sànchez, A, Serra, O. "Matemática discreta". Edicions UPC, 2001.
Gimbert, J. Moreno, R., Ribó, J.M., Valls, M. "Apropament a la teoria de grafs i als seus algoritmes". UdL, 1998.
Graham, R.L. , Knuth, D. E. , and Patashnik, O. "Concrete mathematics: a foundation for computer science". Addison-Wesley. 1990.
Grimaldi, Ralph P. "Discrete and combinatorial mathematics: an applied introduction". 5th ed. Pearson.Addison-Wesley. 2004.
Rosen, Kenneth H. "Discrete mathematics and its applications". 6th ed. McGraw-Hill. 2007.
Lawler, Eugene. Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Dover. ISBN 0-486-41453-1. (2001)
Grafos:
Wilson, R.J., Watkins, J. "Graphs: an introductory approach: a first course in discrete mathematics". Wiley, cop. New York. 1990.
Programación lineal:
Alabert, A., Camps, R. "Programació Lineal, una introducció a la presa de decisions racional".
Basart, J.M. "Programació lineal". Col. Materials de la UAB, n. 58.. 1998.
Luenberger, D. "Programación lineal y no lineal". Addison-Wesley iberoamericana. 1989.
Software
Python, SageMath, Magma
Lista de idiomas
| Nombre | Grupo | Idioma | Semestre | Turno |
|---|---|---|---|---|
| (PLAB) Prácticas de laboratorio | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (PLAB) Prácticas de laboratorio | 2 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 2 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (TE) Teoría | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |