Fonaments de les Matemàtiques II
Codi: 107927 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs |
|---|---|---|
| Matemàtiques | FB | 1 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Carlos Broto Blanco
- Correu electrònic:
- carles.broto@uab.cat
Equip docent
- Francisco Perera Domenech
- Gabriel Martínez De Cestafe Pumares
Idiomes dels grups
Podeu consultar aquesta informació al final del document.
Prerequisits
Es requereix pràctica i destressa en la manipulació d'expressions algèbriques. No es requereixen coneixements matemàtics previs concrets per seguir el curs però es recomana un mínim assoliment de les competències i resultats de l'assignatura de Fonaments de les Matemàtiques I. Això sí, és imprescindible la voluntat d'entendre bé els raonaments i tenir sentit crític davant de les afirmacions matemàtiques dels altres i, sobretot, les pròpies.
Objectius
A principi de curs, farem espicial èmfasi en l'estructura lògica de les matemàtiques i el mètode axiomàtic. Apronfundirem en la teoria de conjunts, relacions d'equivalència, comptatge d'elements i cardinalitat.
A la segona part del curs visitarem els nombres enters, els seus quocients i els polinomis amb la mirada i les eines de la primera part, veurem belles demostracions de fets ben coneguts com ara que hi ha infinits nombres primers o que existeix el màxim comú divisor de dos nombres i també veurem que als polinomis hi trobem resultats anàlegs.
Esperem que els teoremes i demostracions del curs contribueixin a que l'estudiant adquireixi una adequada formació que li permeti començar a fer demostracions per ell mateix, a ser crític davant les afirmacions matemàtiques i, sobretot, combatiu davant els problemes.
Resultats d'aprenentatge
- CM06 (Competència) Discriminar entre els enunciats de resultats i les seves demostracions per identificar situacions en què cal donar un contraexemple.
- CM07 (Competència) Construir demostracions que respectin les regles de la lògica proposicional i de la inducció matemàtica.
- KM11 (Coneixement) Identificar els principis bàsics de la lògica clàssica, així com la seva relació amb la manipulació de conjunts.
- KM12 (Coneixement) Descriure alguns sistemes axiomàtics bàsics en teoria de conjunts, aritmètica modular i de polinomis.
- KM13 (Coneixement) Descriure els algoritmes bàsics de factorització i de resolució d'equacions diofàntiques.
- KM14 (Coneixement) Descriure els processos de resolució d'equacions diofàntiques i del càlcul d'arrels de polinomis.
- SM11 (Habilitat) Fer servir el mètode axiomàtic en la construcció de la jerarquia dels nombres, i en particular, en la justificació de la introducció dels nombres complexos.
Continguts
1. Lògica matemàtica
2. Teoria de conjunts
3. Aritmètica
4. Congruències
5. Polinomis
Activitats formatives i Metodologia
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problemes | 14 | 0,56 | CM06, CM07, KM13, KM14, SM11 |
| Classes de teoria | 30 | 1,2 | CM06, CM07, KM11, KM12, KM13, KM14, SM11 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Seminaris | 6 | 0,24 | CM06, CM07, KM13, KM14, SM11 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi de la teoria i resolució d'exercicis | 88 | 3,52 | CM06, CM07, KM11, KM12, KM13, KM14, SM11 |
La metodologia i les activitats formatives estan adaptades als objectius de formació: introduir el llenguatge matemàtic, aprendre a a utilitzar-lo correctament, veure demostracions (i trobar-ne, i escriure-les correctament!) i mètodes de demostració. Per aconseguir aquests objectius és important que l'alumne entengui la teoria però també, i encara més, és important que intenti fer els exercicis.
A les classes de problemes es discutiran i es resoldran a la pissarra els exercicis de les llistes que, prèviament, l'estudiant haurà treballat pel seu compte.
A les sessions de seminari el professor proporcionarà materials amb exercicis per practicar la descoberta i redacció de demostracions. Els alumnes han de fer tantes preguntes com calgui i finalment el professor explicarà la resolució dels exercicis més representatius.
Cal tenir clar que la correcta assimilació del temari d'aquesta assignatura requereix per part de l'estudiant dedicació i treball continuat i sostingut. És molt recomanable consultar la bibliografia com a part d'aquest treball autònom.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè els alumnes completin les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.
Avaluació
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Examen de recuperació | 60% | 3 | 0,12 | CM06, CM07, KM11, KM12, KM13, KM14, SM11 |
| Examen final | 40% | 3 | 0,12 | CM06, CM07, KM11, KM12, KM13, KM14, SM11 |
| Examen parcial | 20% | 3 | 0,12 | CM06, CM07, KM11, KM12, KM13 |
| Lliurament de problemes resolts | 15% | 0 | 0 | CM06, CM07, KM11, KM12, KM13, KM14, SM11 |
| Seminaris | 25% | 3 | 0,12 | CM06, CM07, KM11, KM12, KM13, KM14, SM11 |
L'avaluació del curs és continuada. La nota s'obté amb les activitats següents:
1) Lliurament d'exercicis resolts. El pes d'aquests lliuraments en la nota final és del 15%.
2) Activitats avaluables en els seminaris. El pes d'aquestes activitats en la nota final és del 25%.
3) Examen parcial. 20% de la nota.
4) Examen final. 40% de la nota.
Per poder aprovar la asignatura sense examen de recuperació cal que la mitjana del parcial i el final sigui com a mínim 3.5.
Aquells estudiants que no hagin superat l'assignatura (i només aquests) podran realitzar un examen de recuperació, la nota del qual substituirà la dels apartats 3) i 4). Les activitats 1) i 2) no són recuperables.
La qualificació de "no avaluable" s'atorgarà a qui només hagi participat en activitats avaluables amb un pes total inferior al 50%.
Avaluació única:
1. Es mantenen les tres tipologies d'avaluació: exàmens, lliurament d'exercicis i seminaris, amb el mateix pes en la nota final i la mateixa recuperació.
2. L'avaluació amb tipologia "exàmens" consistirà en un examen escrit sobre tot el contingut del curs.
3. L'avaluació amb tipologia "lliurament d'exercicis" consistirà en la resolució, en exposició oral, d'un exercici dels que, al llarg del curs, s'han treballat a l'aula.
4. L'avaluació amb tipologia "seminaris" consistirà en una exposició oral sobre els temes tractats en els seminaris del curs.
5. Totes les activitats d'avaluació anteriors en faran el mateix dia que hi hagi l'examen final de l'avaluació continuada.
Bibliografia
J. Aguadé, Matemàtiques: comenceu per aquí. DDD Dipòsit Digital de Documents de la UAB, 2024. https://ddd.uab.cat/record/299307
M. Aigner i G. M. Ziegler, Proofs from The Book. Springer Verlag, 1999.
R. Antoine, R. Camps i J. Moncasi. Introducció a l'àlgebra abstracta amb elements de matemàtica discreta. Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, núm. 46, Bellaterra, 2007.
A. Cupillari, The nuts and bolts of proofs. Elsevier Academic Press, 2005.
P.J. Eccles, An introduction to mathematical reasoning, numbers, sets and functions. Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
D.C. Ernst, An Introduction to Proof via Inquiry-Based Learning. Northern Arizona University 2017
P.R. Halmos. Naive set theory. Springer-Verlag, 1974
A. Reventós, Temes diversos de Fonaments de les Matemàtiques. Apunts.
Programari
Sage
Grups i idiomes de l'assignatura
La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre de 2025. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d’aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura
| Nom | Grup | Idioma | Semestre | Torn |
|---|---|---|---|---|
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 2 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 2 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 3 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 4 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (TE) Teoria | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |