Àlgebra Lineal
Codi: 104843 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs |
|---|---|---|
| Estadística Aplicada | FB | 1 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Ramon Antoine Riolobos
- Correu electrònic:
- ramon.antoine@uab.cat
Idiomes dels grups
Podeu consultar aquesta informació al final del document.
Prerequisits
Coneixements bàsics de les matemàtiques corresponents a l'educació secundària i el batxillerat.
Objectius
Aquesta assignatura és una presentació de l'àlgebra matricial, amb èmfasi en la resolució de sistemes d'equacions i diagonalització de matrius, en particular les matrius simètriques.
El principal objectiu és que l'estudiant assoleixi maduresa en la manipulació matricial i adquireixi els coneixements teòrics que li han de permetre l'ús de matrius en els tractaments estadístics. En particular es treballaran les descomposicions de matrius com la PAQ-reducció, la descomposició en valors singulars (SVD), la diagonalització,...
Resultats d'aprenentatge
- KM02 (Coneixement) Reconèixer el llenguatge i les eines bàsiques pròpies de l'àlgebra lineal.
- SM03 (Habilitat) Resoldre, mitjançant mètodes numèrics, problemes d'optimització, àlgebra lineal i anàlisi en general que apareixen en la ciència i, més especialment, en l'estadística.
Continguts
1. Sistemes d'equacions lineals i matrius. Operacions amb matrius. Matrius invertibles. Transformacions elementals de matrius. Forma normal de Gauss--Jordan. Rang d'una matriu. Criteri d'invertibilitat. Matriu d'un sistema d'equacions lineals. Resolució de sistemes d'equacions lineals. Determinant d'una matriu quadrada. PAQ-reducció i inversa generalitzada.
2. Espais Vectorials i aplicacions lineals: Vectors a R^n i aplicacions lineals. Definició d'espai vectorial i exemples. Estructura vectorial de R^n i subespais. Definició d'aplicació lineal i exemples. Nucli i imatge d'una apliació lineal. Dependència i independència lineal de vectors. Sistemes de generadors, bases d'espais vectorials. Dimensió i rang. Coordinació, matrius de canvi de base, matriu associada a una aplicació lineal respecte de bases fixades als espais de sortida i arribada.
3. Diagonalització d'endomorfismes: Vectors propis i valors propis d'un endomorfisme. Polinomi característic i polinomi mínim. Criteri de diagonalització.
4. Espais vectorials amb producte escalar. Producte bilineals, definició i propietats. Ortogonalitat. Bases ortonormals. Mètode d'ortonormatilització de Gram-Schmidt. Projeccions. Complement ortogonal. Matrius ortogonals. Diagonalització ortogonal de matrius simètriques, teorema espectral. Ajust de dades. Valors singulars i descomposició en valors singulars.
Activitats formatives i Metodologia
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problemes i pràctiques | 24 | 0,96 | KM02, SM03 |
| Classes de teoria | 25 | 1 | KM02, SM03 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Resolució de problemes | 40 | 1,6 | SM03 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi de teoria | 27 | 1,08 | KM02, SM03 |
| Preparació dels exàmens | 26 | 1,04 | KM02, SM03 |
Temps de dedicació
Tenint en compte que aquesta assignatura té assignats 6 crèdits, el nombre d'hores total (classes de teoria, de problemes, de seminaris, treball personal i exàmens) que un estudiant mitjà hauria de dedicar-hi durant el semestre és de 150 hores, adequadament repartides en el temps. És recomanable, doncs, destinar una mitjana de 5 hores de treball personal cada setmana a l'assimilació de la teoria i la resolució de problemes.
Metodologia
L'assignatura disposa durant el semestre de 2 hores setmanals de classe de teoria i de 2 hores setmanals de classes de problemes o pràctiques.
A les classes de teoria es presentaran els continguts de l'assignatura donant especial èmfasi al significat, motivacions i raonaments que ens porten a cadascun dels conceptes que es treballaran. Durant les classes de problemes es treballaran llistes d'exercicis que l'estudiant rebrà amb antelació en què s'insistirà en la vessant més pràctica dels conceptes treballats. Finalment, a les classes de pràctiques, s'aprendrà a usar un determinat programarti informàtic per assistir-nos en la resolució dels problemes . Com a complement a tot això, convé que l'estudiant s'acostumi a consultar llibres de text, que son eines ben estructurades on queden clarament reflectits tant el llenguatge matemàtic usat a l'aula, com el raonament lògic de demostració dels conceptes.
Periodicament hi haurà petites proves a l'aula (tipus "Quiz") per avaluar el progrés de l'alumne en l'assignatura. Aquestes proves s'anunciaran amb antelació, i haurien d'ajudar a l'alumne a mantenir-se al dia de l'assignatura.
Dins les sessions de pràctiques amb ordinador, també es faran petites proves avaluatives amb el programari corresponent.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè els alumnes completin les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.
Avaluació
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Proves escrites | 80 | 6 | 0,24 | KM02, SM03 |
| Resolució de problemes | 10 | 1 | 0,04 | KM02, SM03 |
| Ús eines informàtiques | 10 | 1 | 0,04 | SM03 |
Avaluació continuada
L'avaluació de l'assignatura constarà de les activitats següents:
- Examens:
- Primer parcial (novembre) P1 (30%)
- Segon parcial (gener) P2 (50%)
- Questionaris a l'aula:
- Questionaris d'avaluació continuada Q (10%)
- Proves de SageMath S (10%)
Aquestes activitats, puntuades sobre 10, rebran a la nota final el pes que s'hi indica. És a dir, la nota final de l'assignatura serà:
Nota final = 0.1Q+0.1S+0.3P1+0.5P2
En cas de no arribar a l'aprovat, l'alumne podrà optar a un únic examen de recuperació, R, que permetrà recuperar la nota dels dos parcials (P1 i P2).
L'alumne es considerarà "No avaluable" si ha realitzat activitats d'avaluació que representin un pes per sota de 50% de la nota final del curs.
Avaluació única
En cas d'optar per l'avaluació única, l'alumne farà un únic examen coincidint amb la data del segon parcial. L'examen constarà del contingut de tota l'assignatura incloent la part pràctica de SageMath.
Igual que al cas de l'avaluació continuada, la nota d'aquest examen es podrà recuperar en un examen de recuperació.
Bibliografia
Bibliografia:
M. Masdeu, A. Ruiz, Apunts d'Àlgebra lineal (https://mmasdeu.github.io/algebralineal/)
Otto Bretscher: Linear Algebra with Applications. Pearson Prentice Hall, 3rd edition.
Bibliografia complementària:
Ferran Cedó i Agustí Reventós: Geometria plana i àlgebra lineal, Manuals UAB, (2004), UAB.
Stanley I. Grossman, Álgebra lineal, Grupo Editorial Iberoamérica, 1983.
Shayle R. Searle, Matrix Algebra Useful for Statistics, Wiley-Interscience
David A. Harville, Matrix Algebra from a Statistician's Perspective, Springer
Programari
Durant el curs a les classes pràctiques aprendrem a utilitzar Sage (www.sagemath.org) com a eina per calcular amb els conceptes del curs.
Grups i idiomes de l'assignatura
La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre de 2025. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d’aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura
| Nom | Grup | Idioma | Semestre | Torn |
|---|---|---|---|---|
| (PLAB) Pràctiques de laboratori | 1 | Català | primer quadrimestre | tarda |
| (PLAB) Pràctiques de laboratori | 2 | Català | primer quadrimestre | tarda |
| (SEM) Seminaris | 1 | Català | primer quadrimestre | tarda |
| (SEM) Seminaris | 2 | Català | primer quadrimestre | tarda |
| (TE) Teoria | 1 | Català | primer quadrimestre | tarda |