Topologia de varietats
Codi: 100114
Crèdits: 6
2024/2025
Titulació |
Tipus |
Curs |
2500149 Matemàtiques |
OT |
4 |
Equip docent
- Natalia Castellana Vila
Idiomes dels grups
Podeu consultar aquesta informació al final del document.
Prerequisits
El prerequisits són les assignatures de primer i segon curs del Grau de Matemàtiques i la Topologia de tercer curs. És recomanable haver cursat l'assignatura de Geometria Diferencial.
Objectius
En aquest curs introduïm els invariants algebraics més bàsics que podem associar a un espai topològic (en particular a una varietat) i que ens proporcionen una primera aproximació a les propietats globals d'aquests objectes. Amb especial èmfasi al grup fonamental, als grups d'homologia i les àlgebres de cohomologia.
Competències
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Demostrar una elevada capacitat d'abstracció.
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Formular hipòtesis i imaginar estratègies per confirmar-les o refutar-les.
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació
Resultats d'aprenentatge
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Comprendre el llenguatge abstracte i conèixer demostracions rigoroses d'alguns teoremes de geometria i topologia avançades.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Idear demostracions de resultats matemàtics de l'àrea de geometria i topologia.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació.
Continguts
El curs tractarà els temes de la llista següent.
- Definició i exemples d'homotopia d'aplicacions i d'espais.
- Varietats topològiques i diferenciables.
- Complexos de cadenes.
- Homologia i cohomologia.
- Grup fonamental i espais recobridors.
A més, aquests temes permetran obtenir el resultats remarcables següents:
- Classificació de superfícies compactes connexes.
- Teorema del punt fix de Brouwer.
- Teorema de separació de Jordan-Brouwer.
- Invariància topològica de la dimensió d'una varietat.
Activitats formatives i Metodologia
Títol |
Hores |
ECTS |
Resultats d'aprenentatge |
Tipus: Dirigides |
|
|
|
Classes de problèmes |
15
|
0,6 |
1, 3, 4, 5, 7, 9, 10
|
Classes de teoria |
30
|
1,2 |
1, 3, 4, 5, 7, 9, 10
|
Tipus: Supervisades |
|
|
|
Seminaris |
6
|
0,24 |
1, 3, 4, 5, 7, 9, 10
|
Tipus: Autònomes |
|
|
|
Asimilació dels conceptes, arguments i resultats teòrics |
45
|
1,8 |
5, 7, 9, 11
|
Preparació i exposició de treballs |
15
|
0,6 |
1, 2, 4, 7, 9, 11
|
Resolució de problèmes |
30
|
1,2 |
2, 6, 7, 9
|
Classes on s'exposen el conceptes, arguments i resultats bàsics de l'assignatura.
Això es complementa amb sessions de problemes, seminaris i exposicions orals participatives dels alumnes on
s'aprofundeix en el temari de l'assignatura i s'assoleixen els coneixements i les capacitats per utilitzar
aquests materials en lectures o estudis de temes propers o més avançats.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.
Avaluació
Activitats d'avaluació continuada
Títol |
Pes |
Hores |
ECTS |
Resultats d'aprenentatge |
Entrega de problemes |
30% |
4
|
0,16 |
2, 4, 6, 7, 8, 11
|
Exàmen |
40% |
4
|
0,16 |
2, 3, 4, 6, 8, 10, 11
|
Presentació oral, tipus P. |
30% |
1
|
0,04 |
1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11
|
La nota final es la mitjana ponderada de les notes següents:
- problemes entregats (30%),
- examen (40%)
- el·laboració d'un treball sobre un tema proposat (30%)
Per a poder fer mitjana, es demanarà que es tregui un 3.5 com a mínim de cada activitat d'avaluació. En cas de no superar el curs, hi haurà reavaluació de l'exàmen i del treball. Les matrícules d'honor es decidiran en primera convoatòria.
Les proves per a l'avaluació única es realitzaran en un dia en que es presentin els treballs de final de curs. La prova consistirà en l'entrega d'exercicics prèviament assignats, un examen i la presentació del treball.
Bibliografia
Bàsica:
- W. Fulton, Algebraic topology. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 153. Springer-Verlag, New York, 1995.
- A. Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html)
- J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, , Graduate Texts in Mathematics 202, Springer-Verlag, New York, 2011.
Complementària:
- L. W. Tu, An introduction to manifolds. Universitext. Springer, New York, second edition, 2011.
- R. Bott and L.W. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, NewYork-Berlin, 1982.
Llista d'idiomes
Nom |
Grup |
Idioma |
Semestre |
Torn |
(PAUL) Pràctiques d'aula |
1 |
Català |
primer quadrimestre |
matí-mixt |
(SEM) Seminaris |
1 |
Català |
primer quadrimestre |
tarda |
(TE) Teoria |
1 |
Català |
primer quadrimestre |
matí-mixt |