Anàlisi complexa i de Fourier
Codi: 100103 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs |
|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OB | 3 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Marti Prats Soler
- Correu electrònic:
- marti.prats@uab.cat
Idiomes dels grups
Podeu consultar aquesta informació al final del document.
Prerequisits
És un assignatura de tercer curs per tant els alumnes ja tenen un cert bagatge matemàtic necessari per a seguir-la. Malgrat que serà bastant auto continguda certs coneixements previs són imprescindibles. Per exemple la teoria de sèries i sèries de potències i les integrals impròpies de l’Anàlisi Matemàtica i el càlcul diferencial en diverses variables. Malgrat que alguns aspectes dels nombres complexos ja s'han vist en altres cursos, aquí es tornaran a repetir per facilitar l'aprenentatge dels alumnes.
Objectius
Conèixer i saber utilitzar els conceptes i resultats fonamentals de l'Anàlisi Complexa.
Entendre les demostracions dels resultats més importants i les tècniques més habituals de l'àrea. També serà un objectiu el veure la gran diferència que hi entre els resultats per a funcions reals diferenciables i per a funcions holomorfes.
Competències
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Assimilar la definició d'objectes matemàtics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Calcular, reproduir determinades rutines i processos matemàtics amb agilitat
- Comprendre i utilitzar el llenguatge matemàtic
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Reconèixer la presència de les Matemàtiques en altres disciplines
- Utilitzar aplicacions informàtiques d'anàlisi estadística, càlcul numèric i simbòlic, visualització gràfica, optimització o altres per experimentar en Matemàtiques i resoldre problemes
Resultats d'aprenentatge
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Contrastar els coneixements teòric-pràctics adquirits.
- Conèixer els resultats bàsics i les propietats fonamentals de les funcions holomorfes i la teoria de Cauchy.
- Conèixer les transformacions de Fourier i de Laplace de funcions elementals i seu aplicació a la resolució d'equacions diferencials.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Manejar amb facilitat el calcul de residus i les seves aplicacions
- Manejar amb soltesa transformacions homogràfiques i la representació conforme.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Saber calcular coeficients de Fourier de funcions periòdiques i les seves possibles aplicacions immediates en càlcul de sumes de sèries.
Continguts
1. Preliminars. Nombres complexos. Sèries de potències. Funcions holomorfes. Equacions de Cauchy-Riemann.
2. Teoria Local de Cauchy. Integrals de línia complexes. Teorema de Cauchy-Goursat i teorema local de Cauchy. Holomorfia i analiticitat. Zeros de funcions holomorfes. L’index d’una corba tancada. Fórmula integral de Cauchy. Prolongació analítica. Desigualtats de Cauchy, teorema de Liouville i teorema Fonamental de l'àlgebra. Principi del mòdul màxim. Lema de Schwarz.
3. Singularitats. Sèries de Laurent. Classificació de les singularitats aïllades. Teorema dels residus i aplicacions. Principi de l'argument i teorema de Rouché.
4. Funcions harmòniques i propietats bàsiques. Funcions harmòniques en un disc. Problema de Dirichlet.
5. Transformades. Transformada de Fourier. Transformada de Laplace. Propietats bàsiques. Aplicacions a la resolució d’equacions.
5'. Convergència en l'espai de funcions holomorfes. Teorema de Weierstras. Teorema de Hurwitz. Teorema de representació conforme de Riemann.
NOTA: Es farà el capítol 5 o el 5' en funció del temps disponible i de forma que el curs quedi més complet. Els dos darrers anys s'ha fet el tema 5', i va en la direcció de la nova assignatura que estarà programanda en el nou pla d'estudis que està en tràmit d'aprovació.
Activitats formatives i Metodologia
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Problemes | 14 | 0,56 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 |
| Seminari | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| Teoria | 28 | 1,12 | 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi | 88 | 3,52 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 |
L’assignatura té dues hores de teoria setmanals. S'impartiran de manera tradicional amb guix i pissarra. En la teoria on s'aniran desgranant els conceptes i enunciant els resultats importants (teoremes) que basteixen la teoria que anem introduint.
Ens dedicarem a demostrar els teoremes i els mètodes de resolució mitjançant exemples i exercicis.
L'alumne rebrà unes llistes d'exercicis i problemes sobre les que treballarem a la classe setmanal de problemes. Prèviament, durant la seva activitat no presencial, haurà llegit i pensat els exercicis i problemes proposats. D'aquesta manera es podrà garantir la seva participació a l'aula i es facilitarà l'assimilació dels continguts procedimentals.
Es faran tres sessions de seminaris, de dues hores de durada cadascuna. Els alumnes tindran material prèviament posat al Campus Virtual que s’hauran d'haver estudiat. En les dues primeres sessions hi haurà una primera part (curta) on el professor complementarà algun detall sobre el contingut de la pràctica. Després els alumnes es posaran a treballar en una llista d'activitats. Les pràctiques es podran fer en parelles, que sembla que els ajuda molt. La tercera sessió dels seminaris serà avaluable. Els temes previstos són un estudi més a fons de les transformacions de Möbius i més aplicacions del teorema dels residus en el càlcul d’integrals definides. Sobre aquests temes tractarà l’avaluació.
El Campus Virtual serà el mitjà de comunicació entre professors i alumnes. Serà important consultar-lo dia a dia.
Els alumnes disposaran de servei de tutories al despatx. Es recomana utilitzar aquest ajut per al seguiment del curs.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.
Avaluació
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Examen de recuperació | 80 | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| Primer parcial | 40 | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 |
| Segon Parcial | 40 | 4 | 0,16 | 3, 4, 6, 8, 9, 10 |
| Seminaris | 20 | 2 | 0,08 | 3, 4, 6, 7, 10 |
L'aprenentatge de les matemàtiques és un procés complex. Es necessita una maduració que s’aconsegueix al llarg del curs. Molts cops algun resultat del principi de la teoria s’arriba a entendre completament molt avançat el curs. Això mostra la dificultat de les avaluacions.
Es realitzaran dos exàmens parcials escrits durant el semestre, els quals consistiran principalment en la resolució de problemes, però també contindran una part teòrica. Tindran una qualificació P1 i P2 respectivament. La nota d'examens serà la mitjana aritmètica, és a dir E=(P1 + P2)/2.
La prova del seminari assignarà una qualificació S de fins el 20%.
La qualificació per avaluació continuada s’obtindrà amb la fórmula
QC= 0,8*E+0,2*S.
Si el professorat ho creu convenient, es pot demanar de fer entrevistes amb l'alumnat per matisar les qualificacions.
Durant el curs es poden oferir altres activitats que repercuteixin en la qualificació final en el sentit de millorar nota. Per exemple, si es proposa la realització d'un treball amb un pes del 10%, significa que l'avaluació continuada serà QC= 0,7*E+0,1*max(E,T)+0,2*S, on T és la qualificació del treball en qüestió.
Si QC és més gran o igual que 5 el curs estarà superat. En cas contrari l’alumne podrà presentar-se a una recuperació, i obtindrà una qualificació R i una
QC’= min(0,8* R+0,2*S,5)
és a dir que a la recuperació s'obté com a molt un 5.
La nota de curs sempre serà
QF=màxim{QC, QC’}.
Les possibles matrícules d'honor seran atorgades respectant les normatives vigents i un cop completada tota l'avaluació.
Si un alumne s’ha presentat solament a una prova d’avaluació se li posarà "No avaluable" de qualificació final.
AVALUACIÓ ÚNICA:
Les persones, que per causes molt justificades, no puguin fer l'avaluació continuada, podran fer l’avaluació única. Aquesta opció s’haurà de demanar amb els requisits que fixi la titulació. Les persones acceptades podran fer l’examen conjuntament amb l’examen de recuperació en el qual s’afegiran dues preguntes sobre els seminaris, obtindrà un nota S. La seva qualificació serà
QU=0,8*R+0,2*S
Si QU supera el 3,5 i no arriba a 5, l’alumne tindrà una opció de recuperació en les mateixes condicions, aspirant a un 5 com a molt. Si QU no supera el 3,5, aquesta serà la nota que se li adjudicarà.
Bibliografia
Bibliografia bàsica:
1) L. Ahlfors, Complex Analysis. Mc Graw-Hill. 3ra edició, 1979.(És una referència clàssica que amb un format reduït tracta moltíssims temes de forma rigorosa).
2) J. Conway, Functions of One Complex Variable, second Edition, Springer Verlag, 1978. (Abarca molt més que el curs i conté molts problemes).
3) J. P. D'Angelo, An introduction to Complex Analysis and Geometry; A.M.S. 2010 (És una introducció de nivell molt més elemental que els anteriors).
4) B. Davis, Transforms and Their Applications, Thrid Edition, Springer (2001) (Serveix com a inici i aprofundiment en l’estudi del món de les transformacions integrals).
5) M. C. Pereyra and L. A. Ward. Harmonic Analysis: From Fourier to Wavelets, AMS, 2012 (Curs força complet d'anàlisi harmònica)
Bibliografia complementària:
1) J. Bruna, J. Cufí, Anàlisi Complexa, Manuals UAB 49, 2008.
2) R. Burckel, Introduction to classical complex Analysis, vol I, Academic Pres, 1979.
3) W. Rudin, Análisi Real y Complexo, Alhambra, 1979
4) S. Saks et A. Zygumund, Fonctions Analytiques, Massin et Cie, 1970.
5) M. Stein, R: Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003.
Programari
En l’assignatura no hi ha previstes classes de pràctiques d’ordinador, per tant no es farà cap estudi de programes informàtics. Malgrat això es recomanarà usar programes de manipulació matemàtica com Sagemath, el Maxima o el Wolfram Alpha que els pot ser de molta utilitat.
Llista d'idiomes
| Nom | Grup | Idioma | Semestre | Torn |
|---|---|---|---|---|
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 2 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 2 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (TE) Teoria | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |