2022/2023
Topología de variedades
Código: 100114 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OT | 4 | 1 |
Contacto
- Nombre:
- Joan Porti Pique
- Correo electrónico:
- joan.porti@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- catalán (cat)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- Sí
- Algún grupo íntegramente en español:
- No
Equipo docente
- Natalia Castellana Vila
Prerequisitos
Los prerrequisitos son las asignaturas de primer y segundo curso del Grado de Matemáticas y la Topología de tercer curso. Es recomendable haber cursado la asignatura de Geometría Diferencial.
Objetivos y contextualización
En este curso introducimos a los invariantes algebraicos más básicos que podemos asociar a un espacio topológico (en particular a una variedad) y que nos proporcionan una primera aproximación a las propiedades globales de estos objetos. Con especial énfasis en el grupo fundamental, en los grupos de homología y las álgebras de cohomología.
Competencias
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Demostrar una elevada capacidad de abstracción.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Formular hipótesis e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Resultados de aprendizaje
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Comprender el lenguaje abstracto y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas de geometría y topología avanzadas.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Idear demostraciones de resultados matemáticos del área de geometría y topología.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Contenido
El curso tratará los temas de la siguiente lista.
- Definición y ejemplos de homotopía de aplicaciones y espacios.
- Variedades topológicas y diferenciables.
- Complejos de cadenas.
- Homología y cohomología.
- Grupo fundamental y espacios recubridores.
Además, estos temas permitirán obtener los siguientes resultados remarcables:
- Clasificación de superficies compactas conexas.
- Teorema del punto fijo de Brouwer.
- Teorema de separación de Jordan-Brouwer.
- Invariancia topológica de la dimensión de una variedad.
Metodología
Clases donde se exponen concepton, argumentos y resultados básicos de la assignatura. Ello se complementa con sesiones de problemas, seminarios y exposiciones orales paricipativas de los alumnos, donde de profundiza en el temario de la asignatura y se logran los conocimientos y las capacidades para utilizar estos materiales en lecturas y estudios de temas cercanos o más avanzados.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 15 | 0,6 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Clases de teoría | 30 | 1,2 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Seminarios | 6 | 0,24 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Asimilación de conceptos, argumentos y resultados teóricos | 45 | 1,8 | 5, 7, 9, 11 |
| Preparación y exposición de trabajos | 15 | 0,6 | 1, 2, 4, 7, 9, 11 |
| Resolución de problemas | 30 | 1,2 | 2, 6, 7, 9 |
Evaluación
La nota final es la media ponderada de las notas siguientes:
- problemas entregados (30%),
- examen (40%)
- elaboracón de un trabajo sobre un tema propuesto (30%)
Para poder hacer media, se requiere un 3.5 de noata mínima de cada actividad de evaluación. En caso de no superar el curso, habrá una reevaluación del examen i del trabajo. las matrículas de honor se deciden en primera convocatòria.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Entrega de problemas | 30% | 4 | 0,16 | 2, 4, 6, 7, 8, 11 |
| Exámen | 40% | 4 | 0,16 | 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11 |
| Presentación oral, tipo P. | 30% | 1 | 0,04 | 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 |
Bibliografía
Básica:
- W. Fulton, Algebraic topology. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 153. Springer-Verlag, New York, 1995.
- A. Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html)
- J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, , Graduate Texts in Mathematics 202, Springer-Verlag, New York, 2011.
Complementaria:
- L. W. Tu, An introduction to manifolds. Universitext. Springer, New York, second edition, 2011.
- R. Bott and L.W. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, NewYork-Berlin, 1982.
Software
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