Topologia de varietats
Codi: 100114 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OT | 4 | 1 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Joan Porti Pique
- Correu electrònic:
- joan.porti@uab.cat
Utilització d'idiomes a l'assignatura
- Llengua vehicular majoritària:
- català (cat)
- Grup íntegre en anglès:
- No
- Grup íntegre en català:
- Sí
- Grup íntegre en espanyol:
- No
Equip docent
- Natalia Castellana Vila
Prerequisits
El prerequisits són les assignatures de primer i segon curs del Grau de Matemàtiques i la Topologia de tercer curs. És recomanable haver cursat l'assignatura de Geometria Diferencial.
Objectius
En aquest curs introduïm els invariants algebraics més bàsics que podem associar a un espai topològic (en particular a una varietat) i que ens proporcionen una primera aproximació a les propietats globals d'aquests objectes. Amb especial èmfasi al grup fonamental, als grups d'homologia i les àlgebres de cohomologia.
Competències
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Demostrar una elevada capacitat d'abstracció.
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Formular hipòtesis i imaginar estratègies per confirmar-les o refutar-les.
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació
Resultats d'aprenentatge
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Comprendre el llenguatge abstracte i conèixer demostracions rigoroses d'alguns teoremes de geometria i topologia avançades.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Idear demostracions de resultats matemàtics de l'àrea de geometria i topologia.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació.
Continguts
El curs tractarà els temes de la llista següent.
- Definició i exemples d'homotopia d'aplicacions i d'espais.
- Varietats topològiques i diferenciables.
- Complexos de cadenes.
- Homologia i cohomologia.
- Grup fonamental i espais recobridors.
A més, aquests temes permetran obtenir el resultats remarcables següents:
- Classificació de superfícies compactes connexes.
- Teorema del punt fix de Brouwer.
- Teorema de separació de Jordan-Brouwer.
- Invariància topològica de la dimensió d'una varietat.
Metodologia
Classes on s'exposen el conceptes, arguments i resultats bàsics de l'assignatura.
Això es complementa amb sessions de problemes, seminaris i exposicions orals participatives dels alumnes on
s'aprofundeix en el temari de l'assignatura i s'assoleixen els coneixements i les capacitats per utilitzar
aquests materials en lectures o estudis de temes propers o més avançats.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problèmes | 15 | 0,6 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Classes de teoria | 30 | 1,2 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Seminaris | 6 | 0,24 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Asimilació dels conceptes, arguments i resultats teòrics | 45 | 1,8 | 5, 7, 9, 11 |
| Preparació i exposició de treballs | 15 | 0,6 | 1, 2, 4, 7, 9, 11 |
| Resolució de problèmes | 30 | 1,2 | 2, 6, 7, 9 |
Avaluació
La nota final es la mitjana ponderada de les notes següents:
- problemes entregats (30%),
- examen (40%)
- el·laboració d'un treball sobre un tema proposat (30%)
Per a poder fer mitjana, es demanarà que es tregui un 3.5 com a mínim de cada activitat d'avaluació. En cas de no superar el curs, hi haurà reavaluació de l'exàmen i del treball. Les matrícules d'honor es decidiran en primera convoatòria.
Activitats d'avaluació
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Entrega de problemes | 30% | 4 | 0,16 | 2, 4, 6, 7, 8, 11 |
| Exàmen | 40% | 4 | 0,16 | 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11 |
| Presentació oral, tipus P. | 30% | 1 | 0,04 | 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 |
Bibliografia
Bàsica:
- W. Fulton, Algebraic topology. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 153. Springer-Verlag, New York, 1995.
- A. Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html)
- J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, , Graduate Texts in Mathematics 202, Springer-Verlag, New York, 2011.
Complementària:
- L. W. Tu, An introduction to manifolds. Universitext. Springer, New York, second edition, 2011.
- R. Bott and L.W. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, NewYork-Berlin, 1982.
Programari
No hi ha