Equacions Diferencials Ordinàries
Codi: 104397 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2503740 Matemàtica Computacional i Analítica de Dades | OB | 2 | 1 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Angel Calsina Ballesta
- Correu electrònic:
- Angel.Calsina@uab.cat
Utilització d'idiomes a l'assignatura
- Llengua vehicular majoritària:
- català (cat)
- Grup íntegre en anglès:
- No
- Grup íntegre en català:
- Sí
- Grup íntegre en espanyol:
- No
Equip docent
- Joan Carles Artés Ferragud
Prerequisits
És molt convenient que l'alumne tingui ben assumits els continguts de càlcul en una variable, àlgebra lineal i càlcul numèric del primer curs, així com els de mètodes numèrics de l'assignatura de Mètodes numèrics i probabilístics del primer semestre de segon curs.
Objectius
L’objectiu de l’assignatura és donar a conèixer les equacions diferencials com a eina de modelització determinista quantitativa de molts processos de la física, la química, la biologia, etc. També, l’estudi de les solucions d’aquestes equacions diferencials quan es poden obtenir de manera exacta, quan és convenient un anàlisi qualitatiu i quan és necessari el càlcul numèric aproximat.
Competències
- Aplicar coneixements bàsics sobre l’estructura, l’ús i la programació d’ordinadors, sistemes operatius i programes informàtics per solucionar problemes de diferents àmbits.
- Avaluar de manera crítica i amb criteris qualitat el treball realitzat.
- Calcular i reproduir determinades rutines i processos matemàtics amb agilitat.
- Dissenyar, desenvolupar i avaluar solucions algorísmiques eficients per a problemes computacionals d’acord amb els requisits establerts.
- Formular hipòtesis i imaginar estratègies per confirmar-les o refutar-les.
- Que els estudiants hagin demostrat que comprenen i tenen coneixements en una àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es basa en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda d'aquell camp d'estudi.
- Que els estudiants puguin transmetre informació, idees, problemes i solucions a un públic tant especialitzat com no especialitzat.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els coneixements propis a la seva feina o vocació d'una manera professional i tinguin les competències que se solen demostrar per mitjà de l'elaboració i la defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Relacionar objectes matemàtics nous amb altres de coneguts i deduir-ne les propietats.
- Utilitzar aplicacions informàtiques d’anàlisi estadística, càlcul numèric i simbòlic, visualització gràfica, optimització o altres per experimentar i resoldre problemes.
- Utilitzar eficaçment la bibliografia i els recursos electrònics per obtenir informació.
Resultats d'aprenentatge
- Avaluar de manera crítica i amb criteris de qualitat el treball desenvolupat.
- Avaluar els avantatges i els inconvenients de l'ús del càlcul i de l'abstracció.
- Avaluar i analitzar la complexitat computacional de les solucions algorítmiques per poder desenvolupar i implementar aquella que garanteixi el millor rendiment.
- Contrastar, si és possible, l'ús del càlcul amb l'ús de l'abstracció per resoldre un problema.
- Conèixer el funcionament intern de les computadores i ser crítics amb els resultats que ens donen.
- Descriure els conceptes i els objectes matemàtics propis de l'assignatura.
- Desenvolupar estratègies autònomes per a la resolució de problemes propis del curs, discriminar els problemes rutinaris dels no-rutinaris i dissenyar i avaluar una estratègia per resoldre un problema.
- Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bàsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats.
- Integrar numèricament equacions diferencials ordinàries i equacions en derivades parcials.
- Manejar programari científic específic per a l'aplicació d'algoritmes numèrics o la realització automàtica de càlculs simbòlics encaminats a la resolució de problemes concrets.
- Programar algoritmes de càlcul matemàtic.
- Que els estudiants hagin demostrat que comprenen i tenen coneixements en una àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es basa en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda d'aquell camp d'estudi.
- Que els estudiants puguin transmetre informació, idees, problemes i solucions a un públic tant especialitzat com no especialitzat.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els coneixements propis a la seva feina o vocació d'una manera professional i tinguin les competències que se solen demostrar per mitjà de l'elaboració i la defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Seleccionar i utilitzar les estructures algorítmiques i de representació de les dades apropiades per a la resolució d'un problema.
- Utilitzar eficaçment la bibliografia i els recursos electrònics per obtenir informació.
- Verificar i assegurar el funcionament correcte d'una solució algorítmica d'acord amb els requisits del problema que cal resoldre.
Continguts
Equacions diferencials ordinàries
- Les equacions diferencials com a eina de modelització. El problema de valor inicial. Existència i unicitat i dependència respecte condicions inicials i respecte paràmetres.
- Les equacions diferencials escalars. Equacions diferencials autònomes. Comportament asimptòtic. Exemples i aplicacions als balanços de matèria i a la dinàmica de poblacions.
- Sistemes d’equacions diferencials lineals i equacions diferencials lineals d’ordre superior. Retrats de fase dels sistemes de dues equacions diferencials lineals. Oscil·lacions lineals.
- Sistemes d’equacions diferencials no lineals. Estabilitat de Liapunov. Linealització. Retrats de fase al pla. Aplicacions a la mecànica, l’ecologia i la cinètica química.
- Mètodes numèrics de resolució. Els mètodes de Runge-Kutta.
Metodologia
Corresponen a l'assignatura dues hores de classe de teoria a la setmana. A més es realitzaran 11 hores de seminari on els alumnes resoldran exercicis plantejats pel professor, tant amb eines convencionals com mitjançant l'ús d'un manipulador simbòlic. També hi haurà 12 hores de classes pràctiques que es dedicaran principalment al càlcul aproximat de les solucions de les equacions diferencials. És imprescindible doncs que els estudiants tinguin al seu abast el programari que el professorat vagi recomanant al llarg del curs. Al Campus Virtual de l'assignatura es subministrarà tot el material i tota la informació relativa a aquesta assignatura que calgui a l'estudiant.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de teoria | 30 | 1,2 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Classes de práctiques | 12 | 0,48 | 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17 |
| Seminaris | 11 | 0,44 | 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Disseny de programa i redacció d'informe | 27 | 1,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 |
| Estudi personal | 64 | 2,56 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17 |
Avaluació
L'avaluació del curs es durà a terme mitjançant quatre activitats:
Seminaris avaluables (SEM). Examen parcial (EP): examen de part de l'assignatura, amb preguntes teòriques i problemes. Examen final (EF): examen de tota l'assignatura, amb preguntes teòriques i problemes. Pràctiques d'ordinador (PR): lliurament de codi i un informe.
A més, els estudiants es podran presentar a un examen de recuperació (ER) amb les mateixes característiques que l'examen (EF). Les pràctiques no seran recuperables.
Les qualificacions SEM, EP, EF i PR es donaran sobre 10 punts.
És requisit per a superar l'assignatura que PR>=3.5.
La nota final de l'assignatura serà
max(0.25*EP+0.35*EF,0.6*EF,0.6*ER)+0.3*PR + 0.2*SEM (si aquesta nota no supera el 10, i serà 10 en cas contrari).
Les matrícules d'honor s'atorgaran a la primera avaluació completa de l'assignatura. No seran atorgades a un altre estudiant que obtingui una qualificació més gran després de considerar l'examen (ER).
Activitats d'avaluació
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Avaluació de seminaris | 20% | 0 | 0 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17 |
| Examen final | 35% | 3 | 0,12 | 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15 |
| Examen parcial | 25% | 3 | 0,12 | 1, 2, 4, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15 |
| Pràctiques | 30% | 0 | 0 | 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17 |
Bibliografia
Borrelli, R., Coleman C.S. Ecuaciones diferenciales. Una perspectiva de modelación. Oxford University Press (2002)
Lynch, Stephen Dynamical Systems with applications using MAPLE. Birkhauser, 2000
Lynch, Stephen Dynamical Systems with applications using Python. Birkhauser, 2018
Martínez, R. Models amb Equacions Diferencials, Materials de la UAB no. 149. Bellaterra, 2004
Perelló, C. Càlcul Infinitesimal amb Mètodes Numèrics i Aplicacions, Enciclopèdia Catalana, 1994
J. Stoer and R. Burlisch, Introduction to numerical analysis, 3a ed, Springer, 2002
Dennis G. Zill Ecuaciones diferenciales con aplicacions de modelado. Thompson, 1997