Geometria lineal
Codi: 100095 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OB | 2 | 1 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Jaume Aguadé Bover
- Correu electrònic:
- Jaume.Aguade@uab.cat
Utilització d'idiomes a l'assignatura
- Llengua vehicular majoritària:
- català (cat)
- Grup íntegre en anglès:
- No
- Grup íntegre en català:
- Sí
- Grup íntegre en espanyol:
- No
Equip docent
- Jaume Aguadé Bover
- Roberto Rubio Nuñez
- David Marín Pérez
Prerequisits
Per poder cursar amb èxit l'assignatura, l'alumne ha d'estar prèviament familiaritzat amb els conceptes i tècniques bàsiques de l'àlgebra lineal que s'estudien a l'assignatura "Àlgebra Lineal".
També és molt important haver assimilat perfectament els conceptes de l'assignatura "Fonaments de les Matemàtiques".
Objectius
L'objectiu principal d'aquest curs bàsic de geometria lineal és presentar les nocions més fonamentals d'aquesta disciplina mil·lenària.
En primer lloc, parlarem de què entenem per Geometria. A continuació, discutirem el punt de vista axiomàtic que neix amb Euclides i ha tingut una influència immensa a la matemàtica i, també, a la ciència i a la cultura en general.
Amb el mètode axiomàtic neix la idea de "geometries": Si entenem la geometria com "l'anàlisi lògica de la intuïció de l'espai", en funció de sobre quins principis fonamentem aquesta anàlisi lògica, tindrem geometries diverses i, potser, complementàries (o disjuntives).
A continuació, introduirem el punt de vista projectiu que, amb la inclusió dels "punts a l'infinit" representa l'àmbit més general i més natural de la geometria, i relacionarem l'espai de la geometria projectiva amb el de la geometria afí.
A la segona part del curs, estudiarem les geometries afí i projectiva associades a un espai vectorial. Parlarem de coordenades, subvarietats, transformacions... A continuació, estudiarem la geometria mètrica de l'espai afí euclidià.
Acabarem el curs amb un breu estudi de les còniques i les quàdriques. Aquí, el punt essencial és adonar-se que tenim quatre conceptes (formes bilineals, formes quadràtiques, polinomis de segon grau i quàdriques) que, essencialment, són punts de vista diferents sobre un mateix tipus d'objectes.
Al llarg del curs no ens limitarem a considerar el cos dels nombres reals, sinó que inclourem, fins onsigui possible, els cosos finits i les geometries finites perquè, en l'era digital, són més importants que mai de cara a les aplicacions.
Competències
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Assimilar la definició d'objectes matemàtics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bàsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Utilitzar aplicacions informàtiques d'anàlisi estadística, càlcul numèric i simbòlic, visualització gràfica, optimització o altres per experimentar en Matemàtiques i resoldre problemes
Resultats d'aprenentatge
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Classificar còniques i quàdriques i trobar els seus elements notables.
- Classificar les isometries del pla i de l'espai determinant el seu tipus i elements característics.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Operar amb punts, vectors, distàncies i angles en espais afins i euclidians així com amb els corresponents sistemes de referència, subespais i transformacions
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Saber resoldre problemes geomètrics del pla i de l'espai.
Continguts
Els fonaments de la geometria
1. El concepte de geometria.
2. Els fonaments de la geometria d’Euclides.
3. L’axiomàtica de Hilbert: Incidència i ordre.
4. Congruència, continuïtat i l’axioma de les paral.leles.
5. Geometria absoluta.
6. Geometria afí sobre un cos.
7. Geometries no euclidianes.
8. El punt de vista projectiu.
9. Axiomes projectius.
10. L’espai afí i l’espai projectiu.
Elements de geometria projectiva
11. L’espai projectiu d’un espai vectorial.
12. Coordenades homogènies i fórmula de Grassmann.
13. Les configuracions de Fano i de Pappos.
14. El teorema de Desargues i el teorema de coordinació.
15. La raó doble i el teorema fonamental de la geometria projectiva. 16. Coordenades de Plücker i geometria epipolar.
Geometria afí
17. Espai afí sobre un espai vectorial.
18. Subvarietats i fórmules de Grassmann
19. Coordenades i equacions.
20. Afinitats.
21. Algunes afinitats interessants.
22. Dos teoremes importants de geometria afí.
23. Espai afí euclidià.
24. Moviments rígids
25. Classificació dels moviments rígids.
Quàdriques
26. Quàdriques. 27. Quatre punts de vista sobre les quàdriques.
28. Teoremes de classificació.
29. Classificació projectiva en els casos real, complex i finit.
30. Classificació afí de les quàdriques.
Metodologia
L'assignatura disposa de 30 hores de classe de teoria i 15 hores de problemes. A més hi haurà 4 sessions de seminari / pràctiques de 2 hores. És recomanable l'assistència a totes aquestes activitats.
Periòdicament l'estudiant rebrà llistes de problemes que ha d'intentar resoldre individualment. Alguns d'aquests problemes es poden resoldre fàcilment aplicant els coneixements adquirits a les classes de teoria, però n'hi ha d'altres que exigeixen un nivell de creativitat matemàtica força elevat i poden representar un bon repte per a l'estudiant.
Tanmateix, la simple assistència a classe de teoria i/o problemes és totalment insuficient per assolir les competències de l'assignatura. Cal un temps considerable de treball individual.
Els 4 "seminaris/pràctiques" seran sessions de pràctiques d'aula a les quals els estudiants treballaran en petits grups la resolució d'uns exercicis amb l'ajut del professor. Aquests seminaris seran avaluats.
Tenint en compte la situació sanitària actual, la major part de la docència es farà telemàticament.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Problemes | 15 | 0,6 | |
| Seminaris / Pràctiques | 8 | 0,32 | |
| Teoria | 30 | 1,2 | |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudiar teoria | 30 | 1,2 | |
| Fer problemes | 41 | 1,64 | |
| Preparació als exàmens | 10 | 0,4 |
Avaluació
La nota final del curs s'obté dels quatre seminaris i de les dues proves parcials, segons els pesos indicats.
Si un estudiant (per una causa justificada i acreditada) no pot assistir a alguna sessió de seminari, la nota de seminaris (que compta el 40% de la nota final) s'obtindrà a partir dels altres seminaris als que hagi participat. Els seminaris no són recuperables.
La "prova de recuperació" serveix perquè els estudiants puguin recuperar algun examen parcial que hagin suspès o al qual no s'hagin presentat. La prova de recuperació no rebaixarà la nota que ja tingui l'estudiant.
Activitats d'avaluació
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Prova de recuperació | 60% | 4 | 0,16 | 2, 3, 5, 8 |
| Prova parcial 1 | 30% | 4 | 0,16 | 8 |
| Prova parcial 2 | 30% | 4 | 0,16 | 2, 3, 5, 8 |
| Seminaris | 40% | 4 | 0,16 | 1, 4, 6, 7 |
Bibliografia
Euclides, "Elements de Geometria"
D. Hilbert, "Grundlagen der Geometrie"
R. Hartshorne, "Geometry: Euclid and beyond"
A. Reventós, "Geometria Projectiva"
A. Reventós, "Afinitats, moviments i quàdriques"
J. Kock, "Lliçons de geometria afí." [http://mat.uab.cat/~kock/docencia/GL/]
J. Aguadé, "Un curs de geometria lineal" [http://mat.uab.cat/~aguade/teaching.html]