Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
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2500149 Matemáticas | OT | 4 | 0 |
Todos los cursos anteriores de Cálculo y Análisis Matemàtico.
También es importante un buen conocimiento de Álgebra Lineal y de Topología básica.
Explicar los conceptos y los resultados fundamentales de la integral de Lebesgue en el espacio euclidiano.
Presentar los métodos del análisis funcional, en el contexto de los espacios de Banach y de Hilbert.
El curso consta de 3 bloques:
Teoría de la Medida, Espacios de Banach y Espacios de Hilbert.
1. Limitaciones de la integral de Riemann.
2. Medida de Lebesgue. Teoría abstracta de la medida.
3. Integral de Lebesgue. Teoría abstracta de la integral. Límite vs integral.
4. Teorema Fundamental del Cálculo. Teorema del cambio de variable. Teorema de Fubini-Tonelli.
5. Integrales dependientes de un parámetro. Derivación bajo signo integral.
6. Espacios normados. Espacios de Banach. Caracterizaciones.
7. Espacios de sucesiones. Espacios de funciones. Espacios de medidas.
8. Operadores lineales acotados. Norma de un operador. La topología de los operadores lineales acotados.
9. Aplicaciones: la ecuación integral de Volterra.
10. Teoremas de la aplicación abierta y la gráfica cerrada. Principio de acotación uniforme.
11. Dual topológico de un espacio normado. Teorema de Hahn-Banach.
12. Espacios de Hilbert. Teorema de la proyección. Ortogonalidad.
13. Bases hilbertianes. Desigualdad de Bessel. Identidad de Parseval.
14. Series de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue.
15. Operadores compactos. Problema de Sturm-Liouville.
Esta asignatura tiene 2 horas de teoría y 1 de problemas por semana.
También consta de un total de 6 horas de seminarios a lo largo del curso.
Aunque no es obligatoria, sí es muy recomendable la asistencia a clase para hacer preguntas y aventurar respuestas, aunque sean incorrectas.
Teoría: desarrollaremos los resultados principales y los pondremos en el contexto de las futuras aplicaciones.
Problemas: los alumnos recibirá unas listas de ejercicios que resolveremos en las clases de problemas.
Seminarios: servirán para complementar los contenidos de teoría y problemas.
Los alumnos también dispondrán de unas horas de consulta en el despacho del profesor, para consultar dudas, discutir sobre métodos, etc.
Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
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Tipo: Dirigidas | |||
Clases de problemas | 14 | 0,56 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
Classes de teoría | 30 | 1,2 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
Tipo: Supervisadas | |||
Seminarios | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
Tipo: Autónomas | |||
Estudio personal | 92 | 3,68 |
Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
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Bloque 2. Espacios de Banach | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
Bloque 3. Espacios de Hilbert | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
Bloque1. Teoría de la medida | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
Entrega de ejercicios | 10% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
J. Bruna, Anàlisi Real, UAB Servei de Publicacions, 1996.
J.M. Burgués, Integració i càlcul vectorial, UAB Servei de Publicacions, segona edició, 2002.
S. Lang, Real and functional analysis, Graduate texts in mathematics, Springer, 1993.
W. Rudin Real and functional analysis, Alambra,1979.