Anàlisi real i funcional
Codi: 100110 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OT | 4 | 0 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Joan Orobitg Huguet
- Correu electrònic:
- Joan.Orobitg@uab.cat
Utilització d'idiomes a l'assignatura
- Llengua vehicular majoritària:
- català (cat)
- Grup íntegre en anglès:
- No
- Grup íntegre en català:
- Sí
- Grup íntegre en espanyol:
- No
Prerequisits
Tots els cursos anteriors de Càlcul i Anàlisi.
També és important un bon coneixement d'Àlgebra Lineal i de Topologia bàsica.
Objectius
Explicar els conceptes i els resultats fonamentals de la integral de Lebesgue a l’espai euclidià.
Presentar els mètodes de l’anàlisi funcional, en el context dels espais de Banach i de Hilbert.
Competències
- Assimilar la definició d'objectes matemàtics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Demostrar una elevada capacitat d'abstracció.
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Formular hipòtesis i imaginar estratègies per confirmar-les o refutar-les.
- Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bàsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació
Resultats d'aprenentatge
- Assimilar la definició d'objectes matemàtics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Comprendre el llenguatge i conèixer demostracions rigoroses d'alguns teoremes d'anàlisi matemàtica avançada.
- Comprendre la naturalesa de la integral de Lebesgue i els seus avantatges enfront de la integral de Riemann.
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Entendre el concepte de mesura en R^n i el seu procés de construcció.
- Formular conjectures i imaginar estratègies per confirmar o refusar aquestes conjectures
- Idear demostracions de resultats matemàtics de l'àrea d'anàlisi matemàtica.
- Manejar amb soltesa els espais de Hilbert més importants i saber aplicar, en ells, la teoria bàsica de l'Anàlisi Funcional.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació
Continguts
El curs consta de 3 blocs:
Teoria de la Mesura, Espais de Banach i Espais de Hilbert.
1. Limitacions de la integral de Riemann.
2. Mesura de Lebesgue. Teoria abstracta de la mesura.
3. Integral de Lebesgue. Teoria abstracta de la integral. Límit vs integral.
4. Teorema Fonamental del Càlcul. Teorema del canvi de variable. Teorema de Fubini-Tonelli.
5. Integrals depenents d’un paràmetre. Derivació sota signe integral.
6. Espais normats. Espais de Banach. Caracteritzacions.
7. Espais de successions. Espais de funcions. Espais de mesures.
8. Operadors lineals afitats. Norma d’un operador. La topologia dels operadors lineals afitats.
9. Aplicacions: l'equació integral de Volterra.
10. Teoremes de l'aplicació oberta i la gràfica tancada. Principi d'acotació uniforme.
11. Dual topològic d’un espai normat. Teorema de Hahn-Banach.
12. Espais de Hilbert. Teorema de la Projecció. Ortogonalitat.
13. Bases hilbertianes. Desigualtat de Bessel. Identitat de Parseval.
14. Sèries de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue.
15. Operadors compactes. Problerma de Sturm-Liouville.
Metodologia
Aquesta assignatura té 2 hores de teoria i 1 de problemes per setmana.
També consta d'un total de 6 hores de seminaris al llarg del curs.
Tot i que no és obligatòria, sí que és molt recomanable l'assistència a classe per a fer preguntes i aventurar respostes, encara que siguin incorrectes.
Teoria: desenvoluparem els els resultats principals i els posarem en el context de les futures aplicacions.
Problemes: els alumnes rebreu unes llistes d'exercicis que resoldrem a les classes de problemes.
Seminaris: serviran per a complementar els continguts de teoria i problemes.
Els alumnes també disposaran d’unes hores de consulta al despatx del professor, per tal de consultar dubtes, discutir sobre mètodes, etc.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problemes | 14 | 0,56 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
| Classes de teoria | 30 | 1,2 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Classes de seminari | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi personal | 92 | 3,68 |
Avaluació
Durant el curs farem una activitat d'avaluació (dues hores) per a cada bloc. Consistirà en presentar la demostració d'algun resultat, d'una llista establerta abans de l'avaluació, i en la resolució d'exercicis.
Bloc 1. Teoria de la Mesura (30%)
Bloc 2. Espais de Banach (30%)
Bloc 3. Espais de Hilbert (30%)
La entrega d'exercicis resolts, a mesura que el professor ho vaig indicant, complementa (10%) l'avaluació de curs.
Al dia assenyalat per la Coordinació del Grau com Examen Final (o de recuperació)es podrà recuperar cadascun del blocs avaluats per separat.
TOTS ELS CONTINGUTS DE L'ASSIGNATURA SÓN AVALUABLES (TEORIA, PROBLEMES, SEMINARIS).
Activitats d'avaluació
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Bloc 1. Teoria de la Mesura | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
| Bloc 2. Espais de Banach. | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| Bloc 3. Espais de Hilbert | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
| Entrega d'exercicis | 10% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
Bibliografia
J. Bruna, Anàlisi Real, UAB Servei de Publicacions, 1996.
J.M. Burgués, Integració i càlcul vectorial, UAB Servei de Publicacions, segona edició, 2002.
S. Lang, Real and functional analysis, Graduate texts in mathematics, Springer, 1993.
W. Rudin Real and functional analysis, Alambra,1979.