Esta versión de la guía docente es provisional hasta que no finalize el periodo de edición de las guías del nuevo curso.

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Ecuaciones en derivadas parciales: Modelización, Análisis y Aproximación Numérica

Código: 45561 Créditos ECTS: 6
2025/2026
Titulación Tipo Curso
Modelling for Science and Engineering OP 1

Contacto

Nombre:
Francisco Javier Mora Gine
Correo electrónico:
xavier.mora@uab.cat

Equipo docente

Susana Serna Salichs

Idiomas de los grupos

Puede consultar esta información al final del documento.


Prerrequisitos

Los estudiantes deben tener conocimientos básicos de cálculo, algebra y ecuaciones diferenciales ordinarias, así como habilidades básicas en programación.


Objetivos y contextualización

Muchos fenómenos que se desarrollan en el espacio y/o el tiempo se pueden modelar mediante ecuaciones en derivadas parciales. El propósito de este curso es proporcionar los conceptos principales sobre dichos modelos, así como los métodos numéricos para calcular su solución.


Resultados de aprendizaje

  1. CA18 (Competencia) Implementar computacionalmente técnicas de análisis numérico para la resolución aproximada de las ecuaciones en derivadas parciales
  2. CA19 (Competencia) Integrar las ecuaciones en derivadas parciales en el seno de otras herramientas de modelización en el contexto de proyectos multidisciplinarios
  3. CA19 (Competencia) Integrar las ecuaciones en derivadas parciales en el seno de otras herramientas de modelización en el contexto de proyectos multidisciplinarios
  4. CA20 (Competencia) Incorporar, mediante ecuaciones en derivadas parciales, criterios de sostenibilidad y/o eficiencia ambiental en proyectos de modelización matemática.
  5. CA20 (Competencia) Incorporar, mediante ecuaciones en derivadas parciales, criterios de sostenibilidad y/o eficiencia ambiental en proyectos de modelización matemática.
  6. KA15 (Conocimiento) Identificar los métodos de análisis matemático propios de las ecuaciones en derivadas parciales
  7. KA16 (Conocimiento) Reconocer el papel y la utilidad que juegan las ecuaciones en derivadas parciales en la construcción de modelos matemáticos
  8. SA18 (Habilidad) Aplicar modelos basados en ecuaciones en derivadas parciales en la resolución de problemas concretos
  9. SA19 (Habilidad) Interpretar el significado y fenomenología asociados a los parámetros presentes en las ecuaciones en derivadas parciales, de cara a describir procesos concretos
  10. SA20 (Habilidad) Interpretar los resultados obtenidos al aplicar un modelo formalizado con ecuaciones en derivadas parciales

Contenido

PARTE I: MODELOS PDE Y SUS PRINCIPALES PROPIEDADES

I.0.  Introducción: Ejemplos, diferentes tipos de ecuaciones.

I.1.  La ecuación del calor. La fórmula de solución para el problema de valor inicial puro; el núcleo de Gauss. Solución mediante el método de Fourier en el caso de un intervalo acotado con condiciones de contorno de Dirichlet o Neumann. Carácter disipativo de la ecuación del calor. El principio del máximo parabólico.

I.2.  La ecuación de onda. La fórmula de solución para el problema de valor inicial puro. Solución mediante el método de Fourier en el caso de un intervalo acotado con condiciones de contorno de Dirichlet o Neumann. Carácter conservativo de la ecuación de onda.

I.3.  Ecuación de Laplace con condiciones de contorno de Dirichlet o Neumann. Principio variacional. El principio del máximo elíptico. El núcleo de Poisson. Solución mediante el método de Fourier en el caso de un rectángulo, un círculo o una esfera.

I.4.  El modelo de Turing sobre las "bases químicas de la morfogénesis".

I.5.  Soluciones de ondas viajeras de ecuaciones de calor no lineales.

I.6.  La ecuación de tráfico y las leyes de conservación escalares. Choques. Soluciones débiles. Condición de Rankine-Hugoniot y condiciones de entropía.

I.7.  Las ecuaciones de Navier-Stokes.

 

PARTE II: MÉTODOS NUMÉRICOS

II.1.  Métodos de diferencias finitas para ecuaciones parabólicas escalares: Euler explícito, Euler implícito y métodos de Crank-Nicholson: prueba de estabilidad de Von Neumann. Condición de stabilidad parabólica de Courant-Friedrichs-Lewy. Ejemplos.

II.2.  Métodos numéricos para ecuaciones elípticas.

II.3.  Métodos numéricos para leyes de conservación escalares: Métodos de diferencias finitas en forma de conservación. Esquemas de captura de choque. Esquemas monótonos: Lax-Friedrichs y esquemas upwind. Condiciones de convergencia y estabilidad. Esquemas que satisfacen la condición entropía. Ejemplos.


Actividades formativas y Metodología

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Tipo: Dirigidas      
Classes de teoría y problemas 30 1,2 CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20, CA18
Tipo: Supervisadas      
Clases de prácticas 8 0,32 CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20, CA18
Tipo: Autónomas      
Estudios y trabajos prácticos por parte del alumno 96 3,84 CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20, CA18

El objetivo de las clases de teoría, problemas y prácticas es dar a los alumnos los conocimientos más básicos sobre las ecuaciones en derivadas parciales y sus aplicaciones.

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.


Evaluación

Actividades de evaluación continuada

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Primer examen parcial 30% 4 0,16 CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20
Segundo examen parcial 30% 4 0,16 CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20
Solución de un problema con ordinador 40% 8 0,32 CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20

La evaluación consistirá en dos exámenes parciales y en la entrega de la resolución de un problema mediante el ordenador.


Bibliografía

Bibliografía

L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (2nd ed.), Providence, R.I., American Mathematical Society, (2010).

B. Gustafson, H-O. Kreiss and J. Oliger, Time dependent problems and Difference Methods, Wiley-Intersciences, (1996). 

F. John, Partial Differential equations, vol. 1, Applied Math Sciences, Springer, (1978).

P.D. Lax, Hyperbolic systems of Conservation Laws and The Mathematical Theory of Shock Waves SIAM, 1973. 

R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.

Y.Pinchover, J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge 2005.

S. Salsa, Partial differential equations in action : from modelling to theory Springer, 2008.

G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, (1986).

E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A practical Introduction, Springer-Verlag, 2009.

G.B. Whitham Linear and nonlinear Waves, Wiley-Intersciences, (1999).

 


Software

Dejamos total libertad a los alumnos para que elijan el lenguaje que mas les convenga para resolver los ejercicios de esta asignatura.


Grupos e idiomas de la asignatura

La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre de 2025. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura

Nombre Grupo Idioma Semestre Turno
(TEm) Teoría (máster) 1 Inglés segundo cuatrimestre tarde