Anàlisi Harmònica
Codi: 100111 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs |
|---|---|---|
| Matemàtiques | OT | 4 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Carmelo Puliatti
- Correu electrònic:
- carmelo.puliatti@uab.cat
Equip docent
- Joan Hernandez Garcia
Idiomes dels grups
Podeu consultar aquesta informació al final del document.
Prerequisits
Els cursos d'Anàlisi de primer i segon de grau de Matemàtiques. L'assignatura d'Anàlisi Real i Funcional és molt útil haver-la cursat, però no és un requisit indispensable.
Objectius
El curs té com a objectiu oferir una introducció a l’Anàlisi Harmònica en espais euclidians. En particular, es centra en presentar la definició i les propietats clàssiques de la transformada de Fourier i, en la part final, introduir els estudiants en alguns problemes moderns del camp.
El tema triat per a l’última part del curs d’aquest any serà una introducció a la Teoria de Restricció, una àrea important de recerca en l’Anàlisi Harmònica moderna i contemporània. Aquesta teoria destaca per les seves nombroses connexions —encara que no les explorarem en detall— amb una àmplia varietat de camps, incloent-hi la teoria geomètrica de la mesure i les equacions dispersives.
A part de l’interès harmònic analític del contingut, el curs també exposarà les/els estudiants a diverses tècniques que són omnipresents en l’Anàlisi Matemàtica i les seves aplicacions, com ara alguns elements de la teoria de les distribucions, convolucions i la interpolació d’operadors lineals.
Competències
- Assimilar la definició d'objectes matemàtics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Formular hipòtesis i imaginar estratègies per confirmar-les o refutar-les.
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació
Resultats d'aprenentatge
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Entendre i saber reproduir els resultats bàsics relatius a la transformada de Hilbert.
- Formular conjectures i imaginar estratègies per confirmar o refusar aquestes conjectures
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació.
Continguts
- Convolucions i identitats aproximades.
- Transformada de Fourier de funcions integrables i de L². Inversió de la transformada de Fourier i principi d’incertesa.
- Teorema d’interpolació de Riesz-Thorin i aplicacions a la transformada de Fourier. Desigualtat de Young i desigualtat de Hausdorff-Young.
- Introducció a la teoria de les distribucions temperades: motivació, funcions de Schwartz, seminormes de Schwartz, distribucions temperades, operacions bàsiques amb distribucions temperades, transformada de Fourier de distribucions temperades.
- Introducció a la teoria de restricció per a la transformada de Fourier: principi de fase estacionària, enunciat de la conjectura de restricció, teorema de Tomas-Stein i l’exemple de Knapp. Si el temps ho permet, també explorarem algunes connexions entre la conjectura de restricció i altres problemes importants, com la conjectura de Kakeya.
Activitats formatives i Metodologia
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de Teoria | 30 | 1,2 | 5, 7, 8 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Classes de problemes | 20 | 0,8 | 3, 5, 7, 8 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Resolució de problemes i estudi | 85 | 3,4 | 3, 5, 7, 8 |
El curs seguirà la metodologia estàndard en Matemàtiques. En particular, hi haurà classes a la pissarra amb discussió de definicions, exemples i teoremes. També farem sessions de problemes: es proporcionaran als estudiants llistes d’exercicis, que s’uploadaran al Campus Virtual de l’assignatura, i que es resoldran i es discutiran parcialment a classe.
Formalment, són 30 i 20 hores respectivament, però a la pràctica farem 50 hores tot barrejat.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè els alumnes completin les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.
Avaluació
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Examen final | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| Examen parcial | 35% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| Lliurament d'exercicis proposats | 25% | 9 | 0,36 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| Prova de seminari | 10% | 2 | 0,08 | 1, 2, 6, 7, 8 |
L’avaluació de l’examen es basa en:
a) Un examen parcial P1, sobre la primera meitat del curs.
b) Lliurament de dues llistes d’exercicis, amb el mateix pes i una nota total LL. Els exercicis s’han de fer a casa i pujar al Campus Virtual.
c) Un examen d’una hora sobre les activitats del seminari S.
d) Un examen final P2 sobre la teoria de tot el curs. L’examen consistirà en preguntes escollides d’una llista de 10 a 15 preguntes que el professor posarà a disposició dels estudiants al Campus Virtual.
Els/les estudiants que facin l’examen parcial a) poden optar per no fer l’examen final d). En aquest cas la nota es determinarà només amb a), b) i c), però no podrà ser superior a 7/10. En particular, la nota final serà:
NF1 = min{0.5*P1 + 0.35*LL + 0.15*S, 7}.
Per als estudiants que facin l’examen final d), la nota final serà el màxim entre NF1 i:
NF2 = 0.35*P1 + 0.25*LL + 0.1*S + 0.3*P2.
En particular, en cap cas la nota final serà inferior a NF1.
Si tant NF1 com NF2 són inferiors a 5,o l’estudiant vol millorar la seva nota, podrà presentar-se a una recuperació, la nota de la qual R determinarà la nota final:
NF3 = 0.25*LL + 0.1*S + 0.65*R.
La nota dels lliraments i dels seminaris no es pot recuperar.
AVALUACIÓ ÚNICA: SI ALGÚ VOL FER AVALUACIÓ ÚNICA, HAURÀ DE FER UN EXAMEN FINAL DE TOT EL CURS AMB TOT EL PES DE LA NOTA DEL CURS.
Bibliografia
El professor penjarà apunts al Campus Virtual del curs. Els apunts estaran principalment basades en parts de les següents referències:
1. E. Stein and R. Shakarchi, "Fourier Analysis, an introduction", Princeton Lectures in Analysis, Priceton Univresity Press 2007.
2. E. Stein and G. Weiss, "Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces", Princeton Mathematical Series, 1971.
3. L. Grafakos, "Fundamentals of Fourier Analysis", Springer, 2024.
4. L. Grafakos, "Classical Fourier Analysis. 3rd ed.", Springer, 2014.
5. T. Wolff, "Lectures on harmonic analysis. Edited by Izabella Łaba and Carol Shubin." University Lecture Series 29. 2003.
Alguns llibres complementaris són:
1. E. Stein, "Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals. With the assistance of Timothy S. Murphy." Princeton Mathematical Series. 43. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1993.
2. R. Strichartz, "A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms". CRC Press, Boca Ratón, FL, 1994.
3. A. H. Zemanian, "Distribution Theory and Transform Analysis: An Introduction to Generalized Functions, with Applications, reprint edition". Dover Publications, New York, 1987.
4. C. Demeter, "Fourier restriction, decoupling, and applications."Cambridge University Press, 2020.
Programari
No n'hi ha.
Grups i idiomes de l'assignatura
La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre de 2025. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d’aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura
| Nom | Grup | Idioma | Semestre | Torn |
|---|---|---|---|---|
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 1 | Català | segon quadrimestre | tarda |
| (TE) Teoria | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |