Ecuaciones Diferenciales y Modelización II
Código: 100101 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso |
|---|---|---|
| Matemáticas | OB | 3 |
Contacto
- Nombre:
- Judit Chamorro Servent
- Correo electrónico:
- judit.chamorro@uab.cat
Equipo docente
- Joan Carles Artés Ferragud
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Análisis con una y varias variables, Álgebra lineal y Ecuaciones diferenciales y modelización I.
Objetivos y contextualización
Esta asignatura es la segunda parte de un curso de introducción a las ecuaciones diferenciales. Al igual que la asignatura Ecuaciones Diferenciales y Modelización I, tiene una vertiente teórica (que se trabajará en las clases de teoría y de problemas) y una vertiente aplicada, que se introducirá en las clases de teoría y que se practicará tanto en las clases de problemas como en las clases prácticas (seminarios). Se trata de que los alumnos conozcan y sepan utilizar los conceptos de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias al plan y que tengan conocimiento de las ecuaciones en derivadas parciales mes básicas. Se aplicaran muchos de los resultados establecidos y estudiados en Ecuaciones Diferenciales y Modelitzación I, al mismo tiempo que se introducirán nuevas herramientas para el estudio de las ecuaciones diferenciales nombradas.
Competencias
- Distinguir, ante un problema o situación, lo que es sustancial de lo que es puramente ocasional o circunstancial.
- Formular hipótesis e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
- Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
Resultados de aprendizaje
- Estudiar el comportamiento de las soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales en función de los parámetros que los definen.
- Extraer información cualitativa sobre la solución de una ecuación diferencial ordinaria, sin necesidad de resolverla.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Saber dibujar retratos de fase sencillos de sistemas de ecuaciones diferenciales en el plano.
Contenido
La asignatura está estructurada en tres temas. El primero se centra en la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias, con especial énfasis en sistemas autónomos en el plano. Es una introducción a lo que más tarde se podrá profundizar en la asignatura optativa de Sistemas dinámicos. El segundo y tercer temas engloban un curso de introducción a las ecuaciones en derivadas parcial de primero y segundo orden, respectivamente. Estos últimos temas, también tienen una continuidad en la optativa de Ecuaciones en derivadas parciales.
1 Sistemas autónomos en el plano.
1.1. Sistemas autónomos en R^n. Interpretación geométrica. Estructura de las órbitas. Integrales primeras. Superficies invariantes. Retrato de fase y conjugación.
1.2. Sistemas integrables. Retrato de fase de sistemas integrables en el plano: sistemas potenciales, sistemas Hamiltonianos. El modelo de Lotka-Volterra. El modelo del péndulo sin fricción.
1.3. Sistemas no integrables: análisis cualitativo de los puntos de equilibrio, estabilidad y funciones de Liapunov, comportamiento límite de las órbitas, teorema de Poincaré-Bendixson, ciclos límite. Criterio de Bendixson y criterio de Bendixon-Dulac. Modelos en la ecología. Sistema de van der Pol.
2 Ecuaciones en derivades parciales de primer orden.
2.1. Introducción a las ecuaciones en derivades parciales.
2.2. Ecuaciones lineales y casi-lineales de primer orden. Método de características.
3 Ecuaciones en derivades parciales de segundo orden.
3.1. Problemas de valores iniciales y de contorno. Ecuación del calor. Problema de la barra finita.
3.2. Separación de variables y series de Fourier.
3.3. La ecuación de Laplace.
3.4. La ecuación de onda. Caso de la cuerda finita e infinita. Principio de Alembert.
Actividades formativas y Metodología
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 15 | 0,6 | |
| Clases de teoria | 30 | 1,2 | |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Clases de prácticas | 6 | 0,24 | |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio personal | 88 | 3,52 |
Se realizarán tres tipos de actividades presenciales: clases teóricas, clases de problemas y clases prácticas.
- En las clases de teoría, el profesor motivará los temas de estudio, explicará la materia e incluirá ejemplos. El profesor aportará material teórico al campus virtual, que el alumnado podrá utilizar como apoyo, teniendo en cuenta que es solo una parte del material que se explica. En ningún caso, este material sustituye a la literatura de referencia de la asignatura.
- En las clases de problemas, el profesor expondrá las soluciones de algunos problemas representativos. Las listas de problemas podrán incluir más problemas que los resueltos en clase.
- En las clases prácticas se estudiarán con más detalle tres temas del curso. Será obligatorio entregar por escrito problemas relacionados con la misma. Esta entrega se hará en parejas (se podría aceptar un grupo de tres personas si el número de alumnos en clase lo requiere).
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Entrega de prácticas | 10% | 0 | 0 | 1, 2, 3, 4 |
| Examen final | 90% | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4 |
| Exámen único (EU) - para los alumnos que se hayan acogido a la evaluación única (4h). | 90% | 0 | 0 | 1, 2, 3, 4 |
| Primer examen parcial | 45% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3, 4 |
| Segundo examen parcial | 45% | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4 |
Avaluación continuada:
- Entrega obligatoria de prácticas. Digamos PR la nota sobre 10 obtenida con las entregas. Es una actividad no recuperable.
- Un primer examen parcial a mitad del curso de teoría y problemas. Digamos E1 la nota obtenida sobre 10.
- Un segundo examen parcial a final de curso de teoría y problemas. Digamos E2 la nota obtenida sobre 10.
Avaluación única:
El alumnado que haya pedido la modalidad de evaluación única deberá realizar una prueba final el mismo día que sus compañeros realicen el segundo examen parcia. Esta prueba consistirá en un examen único (EU) que incluirá todos los aspectos evaluables en E1 y E2 y se evaluará sobre 10. Cuando haya finalizado el examen entregará los informes de prácticas que se le habrán propuesto en el campus virtual, la nota de esta entrega será cualificada con PR. Como para el resto de los alumnos, es necesario que PR>=4 y no se puede recuperar. Del mismo modo se necesita EU>=3.5 y, si esta parte no supera el 3.5, el alumno tiene la oportunidad de recuperar esta parte con un examen de todo el curso, el mismo día que sus compañeros y como se especifica en el próximo párrafo.
Avaluación recuperable para ambos casos (Avaluación continuada y única):
Un examen de todo el curso con nota EF, también sobre 10. En ningún caso la nota de prácticas es recuperable.
Cualificación del curso:
- Para los alumnos de avaluación continua. La nota del curso (NC) será aplicable si 1) PR>=4 y 2) min(E1, E2)>= 3.5, salvo que (E1 + E2)/2 >= 5. Su cálculo será: NC = (4.5E1+4.5E2+PR) /10. Además, durante las clases de problemas realizadas entre el primer y segundo parcial se podrán ofrecer un par de ejercicios a realizar conjuntamente parejas que se entregarán a través del CV. Estos problemas tendrán una puntuación máxima de 0,25 cada uno, que se sumará a E2 solo si E2 >= 3.5.
- Para los alumnos de avaluación única. La nota del curso (NC), aplicable si PR>=4 i EU>=3.5. En este caso la nota del curso será NC = (9EU+ PR) /10.
- En cualquier de los dos casos anteriores, el 90% de la nota que no corresponde a prácticas, se podrá recuperar con un examen final (EF). En este caso, si PR>=4 i EF>=3.5, la nota del curso será NC = (9EF+ PR) /10. Si EF<3.5, la nota del curso será: NC=EF. Si EF>=3.5 y PR<4, la nota del curso será NC=min(EF, PR).
- Posibilidad de subir nota: Además, el alumnado que lo decida podrá intentar subir la nota del 90% que no corresponde a prácticas. El examen será un examen final (el mismo examen que EF) y, por lo tanto, se realizará el mismo día que esté asignada la recuperación de la asignatura. Hay que tener en cuenta que cuando la persona que intenta subir nota entrega el examen (EF), está renunciando a la nota que está intentando subir anteriormente (es decir, renuncia a su nota ((E1+E2)/2) en el caso de evaluación continua, o a su nota EU en el caso de evaluación única).
- Las posibles matrículas de honor serán otorgadas a partir de la nota de curso. No se concederán matrículas de honor debidas a una muy buena nota de EF (independientemente de si la persona se ha examinado para subir nota o para recuperación).
- Se considerará no evaluable cualquier estudiante que haya participado en actividades de evaluación correspondientes a menos del 50% de la nota según la ponderación establecida.
Bibliografía
La bibliografía básica para la primera parte del curso será:
- “Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y àlgebra lineal”, Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Alianza Universidad Textos, Madrid, 1983.
- “Equaçoes Diferenciais Ordinarias”, J. Sotomayor.
- “Qualitative Theory of Planar Differential Systems”, Freddy Dmortier, Jaume Llibre, Joan C. Artés, Universitext, Springer, 2006.
Para el segundo y tercer temas:
- “Primer curso de ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES”, Ireneo Peral, UAM, Madrid, 1995. (pdf accessible a la web del professor)
- “EDP, um curso de graduaçao”, Valéria Iório, IMPA, Brasil, 2001.
- “Partial Differential Equations Vol I”, M.E. Taylor, Applied Mathematical Sciences, 2011.
Como bibliografía complementaria de los tres temas se proponen:
- “Models amb Equacions Diferencials”, R. Martínez. Materials de la UAB no. 149. Bellaterra, 2004
- “Equaçoes Diferenciais: Teoria Qualitativa”, L. Barreira i C. Valls, IST Press Lisboa 2010.
- “Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional “, Lev Elsgoltz, Mir, Moscou, 1983.
- “Apunts d’Equacions Diferencials”, d’en Francesc Mañosas, UAB (accessible via el Campus Virtual)
- “Ecuaciones diferenciales”, V. Jimenez. Serie: enseñanza. Universidad de Murcia, 2000.
- “Análise de Fourier e equaçoes diferenciais parciais”, Djaro guedes de Figueiredo, IMPA, Brasil, 2000.
- “Càlcul Infinitesimal amb Mètodes Numèrics i Aplicacions”, C. Perelló. Enciclopèdia Catalana, 1994.
- “Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera”, E. Boyce, y
- R.C. Di Prima, Ed. Limusa, México, 1967.
- “Partial Differential Equations, An Introduction”, Walter Strauss, Wiley, New York, 1992.
- "Elliptic partial differential equations of second order", David Gilbarg, Berlin: springer, 1977.
Software
Para las práctiques se podrá utilizar SAGE.
Grupos e idiomas de la asignatura
La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre de 2025. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura
| Nombre | Grupo | Idioma | Semestre | Turno |
|---|---|---|---|---|
| (PAUL) Prácticas de aula | 1 | Catalán | segundo cuatrimestre | manaña-mixto |
| (PAUL) Prácticas de aula | 2 | Catalán | segundo cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 1 | Catalán | segundo cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 2 | Catalán | segundo cuatrimestre | manaña-mixto |
| (TE) Teoría | 1 | Catalán | segundo cuatrimestre | manaña-mixto |