Aquesta versió de la guia docent és provisional fins que no finalitzi el període d’edició de les guies del nou curs.

Logo UAB

Equacions en Derivades Parcials: Modelització, Anàlisi i Aproximació Numèrica

Codi: 44211 Crèdits: 6
2024/2025
Titulació Tipus Curs
4313136 Modelització per a la Ciència i l'Enginyeria / Modelling for Science and Engineering OT 0

Professor/a de contacte

Nom:
Francisco Javier Mora Gine
Correu electrònic:
xavier.mora@uab.cat

Equip docent

Susana Serna Salichs

Idiomes dels grups

Podeu consultar aquesta informació al final del document.


Prerequisits

Els estudiants haurien de tenir coneixements bàsics de càlcul, àlgebra i equacions diferencials ordinàries, així com habilitats bàsiques de programació.


Objectius

Molts fenòmens que es desenvolupen en l'espai i/o el temps es poden modelar mitjançant equacions en derivades parcials. L'objectiu d'aquest curs és proporcionar els conceptes principals sobre aquests models, així com els mètodes numèrics per calcular la seva solució.


Competències

  • "Aplicar el pensamiento lógico/matemático: el proceso analítico a partir de principios generales para llegar a casos particulares; y el sintético, para a partir de diversos ejemplos extraer una regla general."
  • Analitzar, sintetitzar, organitzar i planificar projectes del seu camp d'estudi. 
  • Aplicar la metodologia de recerca, tècniques i recursos específics per investigar en un determinat àmbit d'especialització.
  • Aplicar les tècniques de resolució dels models matemàtics i els seus problemes reals d'implementació.
  • Comunicar en llengua anglesa els resultats dels treballs de l'àmbit d'estudi.
  • Extreure d'un problema complex la dificultat principal, separada d'altres qüestions d'índole menor.
  • Formular, analitzar i validar models matemàtics de problemes pràctics de diferents camps.
  • Resoldre problemes complexos aplicant els coneixements adquirits a àmbits diferents dels originals
  • Usar mètodes numèrics apropiats per solucionar problemes específics.

Resultats d'aprenentatge

  1. "Aplicar el pensament lògic/matemàtic: el procés analític a partir de principis generals per arribar a casos particulars; i el sintètic, para a partir de diversos exemples extreure una regla general."
  2. Analitzar, sintetitzar, organitzar i planificar projectes del seu camp d'estudi. 
  3. Aplicar la metodologia de recerca, tècniques i recursos específics per investigar en un determinat àmbit d'especialització.
  4. Aplicar tècniques d'equacions en derivades parcials per predir el comportament futur de certs fenòmens.
  5. Comunicar en llengua anglesa els resultats dels treballs de l'àmbit d'estudi.
  6. Extreure d'un problema complex la dificultat principal, separada d'altres qüestions d'índole menor.
  7. Extreure informació dels models en derivades parcials per interpretar la realitat.
  8. Identificar fenòmens reals com a models d'equacions en derivades parcials.
  9. Resoldre problemes complexos aplicant els coneixements adquirits a àmbits diferents dels originals
  10. Resoldre problemes reals identificant-los adequadament des de l'òptica d'equacions en derivades parcials.
  11. Utilitzar els mètodes numèrics apropiats que permetin estudiar fenòmens modelats amb equacions en derivades parcials.

Continguts

PART I: MODELS PDE I SEVES PROPIETATS PRINCIPALS

I.0. Introducció: Exemples, diferents tipus d'equacions

I.1. L'equació de la calor. La fórmula de solució del problema del valor inicial pur; el nucli de Gauss. Solució mitjançant el mètode de Fourier en el cas d'un interval acotat amb condicions de contorn de Dirichlet o Neumann. Caràcter dissipatiu de l'equació de calor. Principi de màxim parabòlic.

I.2. L'equació d'ona. La fórmula de solució del problema del valor inicial pur. Solució mitjançant el mètode de Fourier en el cas d'un interval acotat amb condicions de contorn de Dirichlet o Neumann. Caràcter conservador de l'equació d'ona.

I.3. Equació de Laplace amb condicions de contorn de Dirichlet o Neumann. Principi de variació. Principi de màxim el·líptic. El nucli de Poisson. Resolució mitjançant el mètode de Fourier en el cas d'un rectangle, un cercle o una esfera.

I.4. El model de Turing sobre la “base química de la morfogènesi".

I.5. Solucions d'ones mòbils d'equacions de calor no lineals.

I.6. L'equació del trànsit i les lleis de conservació escalar. Xocs. Solucions febles. Rankine-Hugoniot i condicions d'entropia.

I.7. Les equacions de Navier-Stokes.


PART II: MÈTODES NUMÈRICS

II.1. Mètodes de diferències finites per a equacions parabòliques escalars: mètodes explícits d'Euler, implícits d'Euler i Crank-Nicholson: prova d'estabilitat de Von Neumann. Condició d'estabilitat parabòlica Condició de Courant–Friedrichs–Lewy. Exemples.

II.2. Mètodes numèrics per a equacions el·líptiques.

II.3.Mètodes numèrics per a lleis de conservació escalars: mètodes de diferències finites en forma de conservació. Esquemes de captura de xoc. Esquemes monòtons: Lax-Friedrichs i esquemes upwind. Condicions de convergència i estabilitat. Esquemes que satisfacin la condició d'entropia. Exemples.


Activitats formatives i Metodologia

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Tipus: Dirigides      
Classes de teoria i problemes 30 1,2 7, 8, 10
Tipus: Supervisades      
Classes de pràctiques 8 0,32 11
Tipus: Autònomes      
Estudis i treballs pràctics per part de l'alumne. 96 3,84 7, 8, 10

L'objectiu de les classes de teoria, problemes i pràctiques es donar als alumnes els coneixements mes bàsics de les equacions en derivades parcials i les seves aplicacions.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.


Avaluació

Activitats d'avaluació continuada

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Primer examen parcial 30% 4 0,16 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
Segon examen parcial 30% 4 0,16 10
Solució de un problema amb ordinador 40% 8 0,32 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Si el curs es pot fer presencial l'avaluació consistira en dos exàmens parcials i en l'entrega de la resolució de un problema mitjançant l'ordinador.

En cas que no es pugues fer el curs presencialment, aleshores els dilluns de cada setmana els alumnes rebran per e-mail els apunts i exercices a estudiar i fer durant aquella setmana, i els divendres rebran els exercicis results. I l'avaluació de l'assignatura és fera fent un treball mitjançant l'ordinador.


Bibliografia

L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (2nd ed.), Providence, R.I., American Mathematical Society, (2010).


B. Gustafson, H-O. Kreiss and J. Oliger, Time dependent problems and Difference Methods, Wiley-Intersciences, (1996).


F. John, Partial Differential equations, vol. 1, Applied Math Sciences, Springer, (1978).


P.D. Lax, Hyperbolic systems of Conservation Laws and The Mathematical Theory of Shock Waves SIAM, 1973.


R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.


Y.Pinchover, J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge 2005.


S. Salsa, Partial differential equations in action : from modelling to theory Springer, 2008.


G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, (1986).


E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A practical Introduction, Springer-Verlag, 2009.


G.B. Whitham Linear and nonlinear Waves, Wiley-Intersciences, (1999).


Programari

Deixem plena llibertat als alumnes per que utilitzin el llenguatge que els hi vagi millor per a fer els exercicis numèrics d'aquesta assignatura.


Llista d'idiomes

Nom Grup Idioma Semestre Torn
(TEm) Teoria (màster) 1 Anglès segon quadrimestre tarda