Ecuaciones en Derivadas Parciales
Código: 104401 Créditos ECTS: 62024/2025
| Titulación | Tipo | Curso |
|---|---|---|
| 2503740 Matemática Computacional y Analítica de Datos | OB | 3 |
Contacto
- Nombre:
- Silvia Cuadrado Gavilan
- Correo electrónico:
- silvia.cuadrado@uab.cat
Equipo docente
- Carles Barril Basil
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Es conveniente que el alumno haya cursado las asignaturas Ecuaciones diferenciales ordinarias y Calculo en diversas variables.
Objetivos y contextualización
Las ecuaciones en derivadas parciales son una herramienta fundamental en la modelización determinista de problemas de la física, ingeniería, biología, medicina o finanzas entre otros. El objetivo del curso es una primera introducción a estas ecuaciones tanto desde el punto de vista analítico como numérico. Se comenzará con las ecuaciones de primer orden estudiando primero los aspectos más básicos del método de las características para las ecuaciones cuasi-lineales .Algunas de las aplicaciones de estos modelos, como la ecuación del tráfico, se utilizarán para visualizar las dificultades de la modelización y la aparición de soluciones en sentido generalizado. Posteriormente se estudiarán las ecuaciones lineales "típicas" de segundo orden de la física matemática: ondas, calor y Laplace. Como sucede con las ecuaciones diferenciales ordinarias, en muy pocos casos se dispone de fórmulas cerradas para la solución de ecuaciones en derivadas parciales, por ello se requiere de métodos numéricos para aproximar las soluciones. En este curso se introducirá del método de diferencias finitas como aproximación numérica de las soluciones de algunas de las ecuaciones estudiadas.
Resultados de aprendizaje
- KM10 (Conocimiento) Describir los conceptos y objetos matemáticos propios de las ecuaciones diferenciales y los métodos numéricos.
- KM10 (Conocimiento) Describir los conceptos y objetos matemáticos propios de las ecuaciones diferenciales y los métodos numéricos.
- KM11 (Conocimiento) Idear demostraciones de resultados matemáticos de cálculo numérico y de integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.
- KM11 (Conocimiento) Idear demostraciones de resultados matemáticos de cálculo numérico y de integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.
- SM11 (Habilidad) Integrar numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.
Contenido
Tema 1. Introducción y primeras definiciones.
Tema 2. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
Tema 2. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
EDPs lineales y cuasilineales con dos variables. La ecuación del transporte. Método de las Características. Aplicación a la dinámica de poblaciones estructuradas.
Leyes de conservación. La ecuación de Bürgers y la ecuación del tráfico. Ondas de rarefacción, soluciones débiles y choques. Condiciones de entropía.
Método de diferencias finitas para ecuaciones hiperbólicas.
Tema 3. La ecuación de las ondas.
Ecuación de la cuerda vibrante. Fórmula de de Alembert. Dominio de dependencia y dominio de influencia.
La membrana vibrante. Ondas lineales en electromagnetismo. Fórmulas explícitas de la solución en dimensiones 2 y 3.
Tema 4. La ecuación del calor.
La ecuación del calor. Difusión lineal. Existencia de solución para el problema de Cauchy: Fórmula de Poisson.
El principio del máximo: unicidad de solución.
Diferencias finitas para la ecuación del calor.
Tema 5. La ecuación del potencial.
Las funciones armónicas. Los problemas de Dirichlet y de Neumann. Funciones de Green.
Actividades formativas y Metodología
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de teoria | 27 | 1,08 | KM10, KM11, KM10 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Prácticas | 12 | 0,48 | KM10, KM11, SM11, KM10 |
| Seminarios | 10 | 0,4 | KM10, KM11, SM11, KM10 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio | 55 | 2,2 | KM10, KM11, SM11, KM10 |
| Resolución de problemas y prácticas | 40 | 1,6 | KM10, KM11, SM11, KM10 |
Esta asignatura consta de dos horas de clase de teoría a la semana. Además se realizarán 10 horas de seminario donde los alumnos resolverán ejercicios planteados por el profesor. Habrá 12 horas de clases prácticas que se dedicarán principalmente al cálculo aproximado de las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales. En el Campus Virtual de la asignatura se suministrará todo el material y toda la información necesaria para el desarrollo de la asignatura.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Examen Final | 40% | 3 | 0,12 | KM10, KM11 |
| Examen Parcial | 25% | 3 | 0,12 | KM10, KM11 |
| Prácticas | 35% | 0 | 0 | KM10, KM11, SM11 |
Se realizarán las actividades de evaluación siguientes:
Examen parcial (EP). Examen con preguntas teóricas y problemas similares a los trabajados durante el curso.
Examen Final (EF). Examen de toda la asignatura con preguntas teóricas y problemas similares a los trabajados durante el curso.
Nota de Prácticas (PR). Se evaluará a partir del proyecto (programa) y el informe de prácticas.
Además, los estudiantes podrán presentarse a un examen de recuperación (ER) con las mismas características que el examen (EF). Las prácticas no serán recuperables.
Es requisito para superar la asignatura que max (0.35 * EP + 0.65 * EF, EF, ER)> = 3.5 y que PR> = 3.5. En el caso de que no se presenten estas condiciones la nota final será de 3.5.
La nota final de la asignatura será
0.65 * max (0.35 * EP + 0.65 * EF, EF, ER) + 0.35 PR
Las matrículas de honor se otorgarán en la primera evaluación en la que se pueda superar la asignatura.
Se considerará no evaluable aquel alumno que haya participado en actividades de evaluación correspondientes a menos del 50% de la nota según la ponderación establecida.
Examen parcial (EP). Examen con preguntas teóricas y problemas similares a los trabajados durante el curso.
Examen Final (EF). Examen de toda la asignatura con preguntas teóricas y problemas similares a los trabajados durante el curso.
Nota de Prácticas (PR). Se evaluará a partir del proyecto (programa) y el informe de prácticas.
Además, los estudiantes podrán presentarse a un examen de recuperación (ER) con las mismas características que el examen (EF). Las prácticas no serán recuperables.
Es requisito para superar la asignatura que max (0.35 * EP + 0.65 * EF, EF, ER)> = 3.5 y que PR> = 3.5. En el caso de que no se presenten estas condiciones la nota final será de 3.5.
La nota final de la asignatura será
0.65 * max (0.35 * EP + 0.65 * EF, EF, ER) + 0.35 PR
Las matrículas de honor se otorgarán en la primera evaluación en la que se pueda superar la asignatura.
Se considerará no evaluable aquel alumno que haya participado en actividades de evaluación correspondientes a menos del 50% de la nota según la ponderación establecida.
El alumnado que se haya acogido a la modalidad de evaluación única deberá realizar el examen final (EF) de la asignatura en la misma fecha que los estudiantes de la evaluación continua. Esta prueba supondrá el 65% de la nota. En esa misma fecha el estudiante deberá evaluar el proyecto e informe de prácticas y, en caso de que el profesor lo requiera se realizará una evaluación oral de las prácticas. La evaluación de las prácticas supondrá un 35% de la nota final. En caso de que la nota final sea inferior a 5, el estudiante se podrá presentar en el examen de recuperación (ER) con las mismas características que el examen (EF). Las prácticas no serán recuperables. Es requisito para superar la asignatura que max(EF, ER)>=3.5 y que PR>=3.5.
Bibliografía
- Y. Pinchover and J. Rubinstein. An introduction to partial differential equations. 2005.
- I. Peral, Primer Curso de EDPs, Addison-Wesley/UAM, 1995.
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in
Mathematics 19, AMS, 1998.
- S. Salsa, Partial Differential Equations in action: from modelling to theory, Springer, 2008.
- F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1980.
- W. A. Strauss, Partial Differential Equations: An Introduction,
John Wiley \& Sons, 1992.
- J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial
Differential Equations, SIAM 2004.
- R. Haberman. Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population
Dynamics, and Traffic Flow. 1998.
Software
Las prácticas se realizarán en principio en R aunque tambien será posible utilizar otros lenguajes.
Lista de idiomas
| Nombre | Grupo | Idioma | Semestre | Turno |
|---|---|---|---|---|
| (PLAB) Prácticas de laboratorio | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (TE) Teoría | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |