Métodos Numéricos y Probabilísticos
Código: 104395
Créditos ECTS: 6
2024/2025
Titulación |
Tipo |
Curso |
2503740 Matemática Computacional y Analítica de Datos |
OB |
2 |
Equipo docente
- Sundus Zafar
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Es aconsejable haber hecho al menos un curso de análisis, álgebra lineal y cálculo numérico.
Objetivos y contextualización
En los cursos de análisis, se nos enseñó a calcular áreas de funciones por medio de integrales, pero también que no todas las funciones tienen una integral que se puede expresar en una cantidad finita de funciones elementales.
En los cursos de álgebra hemos enseñado que un polinomio de grado n tiene n raíces (reales o complejas), pero también que no todos los polinomios de grado 5 o superiores tienen necesariamente que ser capaces de ser resueltos por medio de radicales. Y también que muchas otras ecuaciones no polinomiales no se pueden resolver explícitamente.
En los cursos de álgebra se nos ha enseñado a resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer, pero ¿ya sabes qué para resolver un sistema 20x20 de esta manera se necesitaría más tiempo del que tiene el universo?
En el primer curso de cálculo numérico se introdujeron métodos para resolver este tipo de problemas, no por algoritmos exactos, sinó por aproximaciones numéricas. Esta forma de abordar los problemas presenta algunas ventajas y algunos inconvenientes. Las principales ventajas son que de esta manera se pueden resolver problemas que de otra manera serían imposibles de resolver. Un inconveniente es que nunca se encuentra la solución exacta, sino una aproximación numérica. Esto se compensa por la ventaja de que podemos decidir a priori el grado de precisión con el que queremos obtener la solución y este puede ser tan grande como deseemos (y tenemos una computadora lo suficientemente buena para hacerlo en un tiempo razonable). Otra desventaja es que el cálculo numérico está luchando permanentemente contra todo tipo de errores en los datos iniciales, en la introducción de datos, y al redondear las operaciones, y estos errores también se propagan a medida que hacemos más y más operaciones con datos ya corruptos. Por lo tanto, los métodos de cálculo numérico también deben ser capaces de lidiar con este problema.
El primer curso de cálculo numérico terminó con la resolución de integrales en forma numérica. En este segundo año seguiremos haciéndolo con nuevos métodos más poderosos.
Otra forma de calcular el área bajo una función, aunque parezca inverosímil, es mediante métodos aleatorios. Estos métodos tradicionalmente se han llamado métodos de Montecarlo como paradigma de la meca del juego. Veremos lo muy simple (aunque el cálculo es largo) es calcular áreas de funciones en una o más dimensiones, lo que de otro modo sería imposible de calcular.
En este curso presentaremos un nuevo tipo de problemas matemáticos que son muy comunes en el modelado de problemas de la vida real, de hecho, pocos problemas de la vida real terminan simplemente necesitando el cálculo de una solución integral o de una ecuación polinomial. La mayoría de los problemas que surgen en la vida real terminan en problemas de ecuaciones diferenciales, ya sean ordinarias o parciales. En un problema de ecuaciones diferenciales, el objetivo no es encontrar un número para resolver un problema, sinó encontrar una función completa.
Algunos problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden resolver exactamente y esto se ha hecho ya en el primer semestre, en la asignatura que se denomina ecuaciones diferenciales ordinarias.
Sin embargo, debido a que muchas ecuaciones diferenciales tampoco son resolubles por métodos algebraicos o analíticos con un número finito de términos, también es necesario utilizar herramientas numéricas para resolverlos.
Resultados de aprendizaje
- CM12 (Competencia) Contrastar el uso del cálculo numérico con el uso de la abstracción propia de las matemáticas para resolver un problema.
- CM12 (Competencia) Contrastar el uso del cálculo numérico con el uso de la abstracción propia de las matemáticas para resolver un problema.
- CM12 (Competencia) Contrastar el uso del cálculo numérico con el uso de la abstracción propia de las matemáticas para resolver un problema.
- CM13 (Competencia) Controlar los errores que nos producen las máquinas al calcular.
- SM12 (Habilidad) Desarrollar estrategias autónomas para la resolución de problemas de métodos numéricos, discriminando los problemas rutinarios de los no rutinarios y diseñando una estrategia para resolver un problema.
- SM12 (Habilidad) Desarrollar estrategias autónomas para la resolución de problemas de métodos numéricos, discriminando los problemas rutinarios de los no rutinarios y diseñando una estrategia para resolver un problema.
- SM13 (Habilidad) Utilizar las estructuras algorítmicas y de representación de los datos apropiadas para la resolución de un problema matemático.
- SM13 (Habilidad) Utilizar las estructuras algorítmicas y de representación de los datos apropiadas para la resolución de un problema matemático.
Contenido
1.- Integración numérica. Newton-Cotes y métodos gaussianos
2.- Métodos de Monte Carlo para calcular áreas
2.1- Generación de variables aleatorias
3.- Integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (una variable)
3.1- Problema de valor inicial
3.1.1– Método de Euler
3.1.2- Orden de consisténcia y de convergéncia
3.1.3- Métodos de Taylor
3.1.4- Métodos Runge-Kutta
3.1.5- Métodos de paso variable
3.1.6- Métodos Múltipaso
3.2- Problema de valores en la frontera
3.2.1- Método de tiro
3.2.2- Métodos de Diferencias divididas
Actividades formativas y Metodología
Título |
Horas |
ECTS |
Resultados de aprendizaje |
Tipo: Dirigidas |
|
|
|
Clases de Teoria |
27
|
1,08 |
CM12, CM12
|
Clases de problemas |
8
|
0,32 |
SM13, SM13
|
Clases de prácticas |
14
|
0,56 |
CM13, SM13, CM13
|
Tipo: Autónomas |
|
|
|
Estudio, resolución de problemas y realización de programas |
96
|
3,84 |
SM12, SM12
|
Las herramientas de las matemáticas, y muy particularmente las del cálculo numérico necesitan ser aprendidas y practicadas. Por muy memorizado que tengamos una fórmula o un teorema, si no lo hemos aplicado en algún momento, es posible que no vaya bien al primer intento. Además, las herramientas de cálculo numérico se han creado para resolver problemas que necesitan de muchos cálculos y estos cálculos normalmente los haremos en un ordenador, con un programa que hemos hecho. Aunque el programa está hecho por otra persona, es conveniente saber cómo funciona para detectar si cualquier resultado puede ser inestable o incorrecto.
Pero no podemos hacer un programa para aplicar un método si anteriormente no lo hemos practicado, aunque sea con un problema simple o incluso trivial que ni siquiera tendría una necesidad del método numérico.
Las sesiones teóricas estarán dedicadas a la presentación del profesor de los diferentes métodos y su análisis. La exposición de los métodos irá acompañada de ejemplos de su comportamiento, realizados con ordenadores, que tienen como objetivo facilitar la comprensión del método y motivar su análisis.
Los problemas de tipo teóricos y de cálculo se resuelven en las sesiones de problemas. En el caso de problemas de cálculo, habrá algunos que requieran el uso de una calculadora o el uso de un ordenador. En este último caso, los problemas no serán computacionalmente intensivos, por lo que los algoritmos necesarios pueden implementarse rápidamente en un lenguaje numérico interpretado o incluso en una hoja de cálculo. El profesor combinará la resolución de problemas para toda la clase, por parte de un alumno durante toda la clase y para todos los alumnos al mismo tiempo, en grupo, conla ayuda del maestro.
Las sesiones de práctica de computación forman parte del tema dedicado a la introducción de la informática científica. Se dedicarán a la solución de problemas computacionalmente más intensivos, que se implementarán en un lenguaje compilado. Al resolver estos problemas, los estudiantes construirán progresivamente su biblioteca personal de rutinas que implementan métodos numéricos básicos.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
Título |
Peso |
Horas |
ECTS |
Resultados de aprendizaje |
Examen Parcial |
0.21 |
2
|
0,08 |
CM12, SM12, SM13
|
Examen final |
0.3 |
3
|
0,12 |
CM12, SM12, SM13
|
Programa Ordenador |
0.4 |
0
|
0 |
CM13, SM12, SM13
|
La evaluación del curso se llevará a cabo a partir de tres actividades:
- Examen Parcial (EP): Examen de parte del curso, con preguntas teóricas y problemas.
- Examen Final (EF): Examen de toda la asignatura, con preguntas teóricas y problemas.
- Programa (PR): Entrega de código y un informe.
Además, los estudiantes podrán realizar un examen de recuperación con las mismas características que el examen EF. Las prácticas no serán recuperables.
Es un requisito previo para superar el curso que Max (0.35 * EP + 0.65 * EF, EF, ER) > 3.5 y PR > 4.5.
La nota final del curso será 0.6 * MAX (0.35 * EP + 0.65 * EF, EF, ER) + 0.4 * PR
Las matrículas de honor se otorgarán a la primera evaluación completa del curso. No se retirarán si otro estudiante obtiene una calificación más alta después de considerar el examen de recuperación.
Un alumno que no haya entregado ningún examen escrito será considerado como "No evaluable"
Bibliografía
Bibliografía básica:
A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams. Eines bàsiques de càlcul numèric. Manuals de la UAB 7, Publ. UAB, 1991.
M. Grau, M. Noguera. Càlcul numèric. Edicions UPC, 1993.
J.D. Faires, R. Burden. Métodos numéricos, 3a ed. Thomson, 2004.
G. Dahlquist, A. Björk. Numerical methods. Prentice Hall, 1964.
R. Burden, J.D. Faires. Numerical analysis, 6a ed. Brooks/Cole, 1997. En castellà: Análisis numérico, 6a ed., International Thomosn, 1998.
G. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann. Numerical mathematics. Springer, 1991.
Bibliografía avanzada:
E. Isaacson, H.B. Keller. Analysis of numerical methods. Wiley, 1966.
J. Stoer, R. Bulirsch. Introduction to numerical analysis, 3a ed. Springer, 2002.
A. Ralston and P. Rabinowitz. A first course in numerical analysis. McGraw-Hill, 1988.
A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri. Numerical Mathematics. Springer, 2000.
Software
Python, R o C según las preferencias del alumnado.
Lista de idiomas
Nombre |
Grupo |
Idioma |
Semestre |
Turno |
(PLAB) Prácticas de laboratorio |
1 |
Catalán |
segundo cuatrimestre |
manaña-mixto |
(SEM) Seminarios |
1 |
Catalán |
segundo cuatrimestre |
manaña-mixto |
(TE) Teoría |
1 |
Catalán |
segundo cuatrimestre |
manaña-mixto |