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Integración numérica de ecuaciones en derivadas parciales

Código: 100121 Créditos ECTS: 6
2024/2025
Titulación Tipo Curso
2500149 Matemáticas OT 4

Contacto

Nombre:
Angel Calsina Ballesta
Correo electrónico:
angel.calsina@uab.cat

Equipo docente

Miquel Barcelona Poza

Idiomas de los grupos

Puede consultar esta información al final del documento.


Prerrequisitos

Esta asignatura no tiene prerrequisitos teóricos, aunque haber cursado las asignaturas de ecuaciones en derivadas parciales y/o cálculo numérico ayudará a dar contexto. Para la parte práctica hace falta una mínima familiaridad con el uso del lenguaje de programación C para la computación científica.


Objetivos y contextualización

Esta asignatura es una introducción a los métodos numéricos para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (EDP).

Las EDP son el fundamento de la mayor parte de modelos matemáticos de procesos físicos. Como sucede con las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), se dispone de fórmulas cerradas para su solución en muy pocos casos. Es por esto que, en la práctica totalidad de las aplicaciones, se requieren métodos numéricos para la aproximación de sus soluciones. A diferencia de las EDO, no obstante, no hay métodos numéricos generales que sirvan para casi todas las EDP salvo comportamientos específicos: los métodos son concretos para familias pequeñas de EDP. Las ideas en que se basan sí que son generales, y en este sentido podemos hablar de familias de métodos, como diferencias finitas y elementos finitos.

La asignatura se centrará en el desarrollo y análisis de los métodos de diferencias finitas y elementos finitos para las EDP clásicas (transporte, ondas, calor y potencial), aunque se harán algunos comentarios sobre otros métodos (como características y espectrales) y otras ecuaciones.


Competencias

  • Calcular y reproducir determinadas rutinas y procesos matemáticos con agilidad.
  • Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
  • Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
  • Formular hipótesis e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
  • Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
  • Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  • Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
  • Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
  • Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.

Resultados de aprendizaje

  1. Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
  2. Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
  3. Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
  4. Idear demostraciones de resultados matemáticos de cálculo numérico y de integración numérica de EDP's.
  5. Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  6. Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
  7. Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
  8. Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
  9. Saber integrar numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

Contenido

1.- Diferencias finitas
 
Problemas de evolución hiperbólicos. La ecuación del transporte. Conceptos de consistencia, estabilidad y convergencia. Error de truncamiento local y orden de un método. La condición de Courant-Friedrichs-Lewy.

Problemas de evolución parabólicos. Métodos explícitos e implícitos. El método de John Crank y Phyllis Nicolson. Estabilidad.

Problemas estacionarios. La ecuación de Poisson.

2.- Elementos finitos

Formulación variacional o débil de problemas elípticos. Condiciones de contorno. El método de Galerkin.

Método de elementos finitos. Fases: mallado, acoplamiento, solución del sistema lineal, post-proceso. Ejemplo con la ecuación de Poisson en 2 dimensiones.

Triangulaciones. Interpolación en diversas variables y diferentes tipos de elementos finitos. Diferentes tipos de condiciones de frontera. Acoplamiento y formulación global.


Actividades formativas y Metodología

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Tipo: Dirigidas      
Clases de problemas 10 0,4 1, 2, 4, 6, 8, 9
Clases de prácticas 14 0,56 1, 2, 4, 6, 8, 9
Classes de teoría 26 1,04 1, 2, 4, 6, 9
Tipo: Autónomas      
Estudio 50 2 1, 2, 4, 6, 9
Realización de problemas y prácticas 44 1,76 1, 2, 4, 6, 8, 9

Las clases de teoría y de problemas se llevarán a cabo en una aula de la facultad. En ellas se combinará la presentación de aspectos teóricos de los métodos numéricos y sus propiedades básicas con la resolución de problemas de carácter teórico. Se trabajará sobre listas de problemas que se proporcionarán a lo largo del curso.

Las clases prácticas se llevarán a cabo en una aula de informática de la facultad. En estas sesiones, los estudiantes resolverán algún problema de tipo aplicado mediante la implementación en un lenguaje de programación de algunos de los métodos estudiados en la asignatura. Estas sesiones prácticas se evaluarán a partir de la entrega a final de curso (se anunciará la fecha) del código y un informe de prácticas.

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.


Evaluación

Actividades de evaluación continuada

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Entrega de problemas 0.05 0 0 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9
Entrega de prácticas 0.5 0 0 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9
Examen de recuperación 0.5 3 0,12 2, 6, 8, 9
Examen final 0.45 3 0,12 2, 4, 5, 6, 8, 9

La evaluació del curso se llevará a cabo a partir de tres actividades:

- Examen final (EF): examen de toda la asignatura con preguntas teóricas y problemas.
- Prácticas (PR): entrega de código y un informe.
- Entrega opcional de problemas: código y un informe.

Además, los estudiantes se podrán presentar a un examen de recuperación ER con las mismas características que el examen EF. Las prácticas no seran recuperables.

És requisito para superar la asignatura que max(EF,ER)>=3.5 y que PR>=3.5.

La ponderación de las notas de exámenes y prácticas será

0.5*max(EF,ER)+0.5*PR

Los estudiantes podrán entregar algunos problemas de la lista de problemas que consistirán en experimentar con ordenador sobre las propiedades de algunos de los métodos numéricos que se verán en el curso. La evaluació de estos problemas podrá añadir un punto (sobre 10) a las calificaciones EF y ER. En todo caso, la máxima puntuación será 10.
 
Las matrículasde honor se otorgarán en la primera evaluación completa de la asignatura. No serán retiradas en el caso que otro estudiante obtenga una calificación mayor despuésde considerar el examen ER.

Un estudiante que participe en alguna actividad de evaluación distinta de la entrega de ejeercicios será considerará evaluable.
 
El/La alumno/a que opte por la evaluación única tendrá un examen el día del examen final en el que deberá entregar el informe y el código de la práctica. En caso de no superar el examen, podrá presentarse a un examen de recuperación el mismo día que los compañeros, en las mismas condiciones descritas anteriormente.

Bibliografía

- C. Johnson: Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. Dover, 2009.

- M. G. Larson, F. Benzgon: The finite element method: Theory, implementation and applications. Springer, 2013.

- J. Masdemont: Curs d'elements finits i aplicacions. Edicions UPC, 2002.

- R.M.M. Mattheij, S.W. Rienstra, J.H.M. ten Thije Boonkkamp: Partial Differential Equations. Modeling, Analysis, Computation. SIAM, 2005.

- K.W. Morton, D.F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 1994.

- J. C. Strikwerda: Finite difference schemes and partial differential equations, SIAM, 2004.

 


Software

- Preferably a Linux environment
- code-oriented text editor (e.g. Kate)
- GNU C compiler
- gnuplot
- image manipulation tools (e.g. imagemagick)
- GNU Octave


Lista de idiomas

Nombre Grupo Idioma Semestre Turno
(PAUL) Prácticas de aula 1 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(PLAB) Prácticas de laboratorio 1 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(TE) Teoría 1 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto