Processos estocàstics
Codi: 100116 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs |
|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OT | 4 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Xavier Bardina Simorra
- Correu electrònic:
- xavier.bardina@uab.cat
Idiomes dels grups
Podeu consultar aquesta informació al final del document.
Prerequisits
Com a requisits generals, per poder seguir l'assignatura, cal un bon coneixement a nivell pràctic d'anàlisi, àlgebra lineal i càlcul o, més concretament, de matrius, integració i sèries. Com a requisits més específics és necessari haver cursat prèviament el curs de Probabilitat i Modelització Estocàstica de tercer curs.
Objectius
L'objectiu d'aquesta assignatura és, d'una banda, introduir l'alumne en la part de la teoria de la probabilitat anomenada teoria dels processos estocàstics, que té per objecte d'estudi els fenòmens aleatoris que evolucionen en el temps o en l'espai. Veurem les generalitats bàsiques d'aquests models i estudiarem alguns models concrets.
S'estudiaran amb detall les cadenes de Markov a temps discret, en general i, com a exemple principal, el cas del passeig aleatori. Veurem també les cadenes de Markov a temps continu com, per exemple, el procés de Poisson o els processos de naixement i mort. Finalment introduirem també el moviment Brownià.
Competències
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bàsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació
Resultats d'aprenentatge
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Idear demostracions de resultats matemàtics de l'àrea de probabilitat i estadística
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació.
Continguts
0. Introducció i preliminars.
1. Cadenes de Markov a temps discret.
1.1. Definicions. Propietats bàsiques. Matriu de transició.
1.2. Temps d'atur. Propietat forta de Markov.
1.3. Estats recurrents i transitoris. Classes d'equivalència. Més aspectes del passeig aleatori.
1.4. Comportament asimptòtic. Distribució invariant. Teorema ergòdic.
2. Cadenes de Markov a temps continu.
2.1. Motivació: el procés de Poisson.
2.2. Propietats bàsiques. Matriu generadora. Equacions diferencials de Kolmogorov
2.3. Estructura de classe i classificació dels estats.
2.4 Distribució invariant. Teorema ergòdic.
3. El moviment Brownià.
Activitats formatives i Metodologia
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problemes | 13 | 0,52 | 1, 2, 3, 4, 5, 7 |
| Classes de teoria | 28 | 1,12 | 1, 3, 4, 7 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Seminaris | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi de la teoria i resolució de problemes | 65 | 2,6 | 1, 2, 3, 4, 5, 7 |
| Preparació d'exàmens | 20 | 0,8 | 3, 4, 7 |
Aquesta assignatura és quadrimestral i consta de dues hores de teoria i una hora de problemes a la setmana de classe presencial. A més a més hi haurà tres sessions de seminaris de dues hores.
La introducció de coneixements teòrics a la classe de teoria és fonamental per tal que l'alumne pugui entendre i assolir els fonaments de la teoria dels processos estocàstics que s'introdueixen en aquesta assignatura. El coneixement de les nocions introduïdes a teoria, dels enunciats de les proposicions i teoremes, així com dels exemples d'aplicació, són imprescindibles per tal que l'alumne pugui, a la classe de problemes, resoldre les qüestions plantejades mitjançant una metodologia semblant. Es treballarà l'estructura definició-teorema-demostració-aplicació, ja que és la manera que l'alumne pugui entendre i seguir els raonaments de la teoria matemàtica que s'està explicant, a la vegada que pugui veure i entendre quin paper juguen els diferents elements de què es disposa en les demostracions de nous fets matemàtics, així com les hipòtesis que es necessita imposar. Naturalment, s'intenta estimular l'esperit crític davant qualsevol afirmació matemàtica, així com la intuïció de l'adequació dels diferents models matemàtics utilitzats a les situacions reals més diverses (físiques, biològiques, d'economia,...), gràcies a la realització de problemes aplicats a diferents àrees, on la modelització hi juga un paper molt important.
A les classes de problemes es resoldran problemes pràctics. També es tindrà cura de l'expressió tant oral com escrita dels alumnes. D'altra banda, en les sessions de seminaris, l'estudiant treballarà, sota la tutela del professor, algunes situacions pràctiques que estiguin relacionades amb el que s'ha estudiat en les classes de teoria. Aquestes sessions permetran també que, tant professor com alumne, puguin ser conscients de l'evolució en l'assoliment dels conceptes i mètodes que s'introdueixen en les classes de teoria.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.
Avaluació
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Examen de recuperació | 100% | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4, 5, 7 |
| Primer examen parcial | (1-0.1·x)·5%(<50%) | 4 | 0,16 | 1, 3, 4, 5, 6 |
| Quizz | 10·x% | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 7 |
| Segon examen parcial | (1-0.1·x)·5%(<50%) | 4 | 0,16 | 1, 3, 4, 5 |
Durant el semestre es realitzaran dos exàmens parcials. El primer tindrà lloc aproximadament a la meitat del curs i el segon es realitzarà al final del curs. La nota final dels exàmens, y, s'obtindrà fent la mitjana aritmètica de les qualificacions dels dos parcials.
Durant tot el curs es realitzaran en horari de classe quizz amb els quals s'obtindrà una nota x. Durant el curs també es poden proposar tasques addicionals que contribuiran a la nota x.
La nota final de l'assignatura s'obtindrà aplicant la fórmula següent:
N(x,y)=x+(1-0.1·x)·y
Us remetem a l'article Matemáticas y evaluación, Materials Matemàtics volum 2011, de X. Bardina i E. Liz on s'explica detalladament la fórmula.
En cas necessari, es programarà un examen de recuperació.
Avaluació única
L’alumnat que s’hagi acollit a la modalitat d’avaluació única haurà de realitzar una prova final que consistirà en un examen de teoria tipus test. Seguidament haurà de fer dues proves de problemes corresponents als dos parcials de l'assignatura.
La qualificació de l’estudiant serà la mitjana ponderada de les tres activitats anteriors, on l’examen de teoria suposarà el 20% de la nota, i els exàmens de problemes un 40% cadascun.
Bibliografia
- Bardina, X. & Ferrante, M. An excursion into Markov chains. Springer, to appear.
- Breiman, L. Probability and Stochastic Processes: With a ViewToward Applications. Houghton Mifflin Company Boston, 1969.
- Brémaud, P. Markov Chains: Gibbs measures, Montecarlo simulation, and queues. Texts in Applied Mathematics. Springer, 1998.
- Feller, W. Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones, Vol I. John Wiley \& Sons, 1988.
- Karlin, S. & Taylor, M.H. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York, 1975.
- Karlin, S. & Taylor, M.H. A Second Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York, 1981.
- Lawler, G.F. Introduction to Stochastic Processes. Chapman and Hall/CRC Probability Series, 1995.
- Norris, J.R. Markov Chains. Cambridge University Press, 1997.
- Hoel, P.G., Port, S.C. & Stone, C.J. Introduction to Stochastic Processes. Houghton Mifflin Company, Boston, 1972.
Programari
Aquesta assignatura no usa cap programari específic.
Llista d'idiomes
| Nom | Grup | Idioma | Semestre | Torn |
|---|---|---|---|---|
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 1 | Català | segon quadrimestre | tarda |
| (TE) Teoria | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |