Análisis real y funcional
Código: 100110 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso |
|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OT | 4 |
Contacto
- Nombre:
- Joaquín Martín Pedret
- Correo electrónico:
- joaquin.martin@uab.cat
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Todos los cursos anteriores de Cálculo y Análisis Matemàtico.
También es importante un buen conocimiento de Álgebra Lineal y de Topología básica.
Objetivos y contextualización
Explicar los conceptos y los resultados fundamentales de la integral de Lebesgue en el espacio euclidiano.
Presentar los métodos del análisis funcional, en el contexto de los espacios de Banach y de Hilbert.
Competencias
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Demostrar una elevada capacidad de abstracción.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Formular hipótesis e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Resultados de aprendizaje
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
- Comprender el lenguaje y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas de análisis matemático avanzado.
- Comprender la naturaleza de la integral de Lebesgue y sus ventajas frente a la integral de Riemann.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Entender el concepto de medida en R^n y su proceso de construcción.
- Formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmar o rehusar estas conjeturas.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Idear demostraciones de resultados matemáticos del área de análisis matemático.
- Manejar con soltura los espacios de Hilbert más importantes y saber aplicar, en ellos, la teoría básica del Análisis Funcional.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Contenido
El curso consta de 3 bloques:
Teoría de la Medida, Espacios de Banach y Espacios de Hilbert.
1. Limitaciones de la integral de Riemann.
2. Medida de Lebesgue. Teoría abstracta de la medida.
3. Integral de Lebesgue. Teoría abstracta de la integral. Límite vs integral.
4. Teorema Fundamental del Cálculo. Teorema del cambio de variable. Teorema de Fubini-Tonelli.
5. Integrales dependientes de un parámetro. Derivación bajo signo integral.
6. Espacios normados. Espacios de Banach. Caracterizaciones.
7. Espacios de sucesiones. Espacios de funciones. Espacios de medidas.
8. Operadores lineales acotados. Norma de un operador. La topología de los operadores lineales acotados.
9. Aplicaciones: la ecuación integral de Volterra.
10. Teoremas de la aplicación abierta y la gráfica cerrada. Principio de acotación uniforme.
11. Dual topológico de un espacio normado. Teorema de Hahn-Banach.
12. Espacios de Hilbert. Teorema de la proyección. Ortogonalidad.
13. Bases hilbertianes. Desigualdad de Bessel. Identidad de Parseval.
14. Series de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue.
15. Operadores compactos. Problema de Sturm-Liouville.
Actividades formativas y Metodología
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 14 | 0,56 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15 |
| Classes de teoría | 30 | 1,2 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Seminarios | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio personal | 92 | 3,68 |
Esta asignatura tiene 2 horas de teoría y 1 de problemas por semana.
También consta de un total de 6 horas de seminarios a lo largo del curso.
Aunque no es obligatoria, sí es muy recomendable la asistencia a clase para hacer preguntas y aventurar respuestas, aunque sean incorrectas.
Teoría: desarrollaremos los resultados principales y los pondremos en el contexto de las futuras aplicaciones.
Problemas: los alumnos recibirá unas listas de ejercicios que resolveremos en las clases de problemas.
Seminarios: servirán para complementar los contenidos de teoría y problemas.
Los alumnos también dispondrán de unas horas de consulta en el despacho del profesor, para consultar dudas, discutir sobre métodos, etc.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Bloque 2. Espacios de Banach | 25% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
| Bloque 3. Espacios de Hilbert | 25% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
| Bloque1. Teoría de la medida | 25% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15 |
| Entrega de ejercicios | 25% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
Bloque 1. Teoría de la Medida (25%)
Bloque 2. Espacios de Banach (25%)
Bloque 3. Espacios de Hilbert (25%)
La entrega de ejercicios resueltos, a medida que el profesor lo hice indicando, complementa (25%) la evaluación de curso.
Para cada actividad de evaluación, se indicará un lugar, fecha y hora de revisión en la que el alumnado podrá revisar la actividad con el profesorado. En este contexto, se podrán hacer reclamaciones sobre la nota de la actividad, que serán evaluadas por el profesorado responsablede la asignatura. El alumnado que no se presente a esta revisión, no podrá revisar posteriormente esta actividad.
g) Evaluación única:
El alumnado que se haya acogido a la modalidad de evaluación única deberá realizar una prueba final que consistirá en un examen de teoría donde deberá desarrollar un tema y/o deberá responder a una serie de cuestiones cortas. Seguidamente tendrá que hacer una prueba de problemas/prácticas donde tendrá que resolver una serie de ejercicios parecidos a los que se han trabajado en las sesiones de Prácticas/Problemas de Aula.
La calificación será la media ponderada de las dos actividades anteriores, donde el examen de teoría supondrá el 30% de la nota y el examen de problemas/prácticas el 70%.
Si la nota final no llega a 5, el alumnado suspendido tiene otra oportunidad de superar la asignatura mediante el examen de recuperación que se celebrará en la fecha que fije la coordinación de la titulación. Para poder presentarse a la recuperación será necesario haber obtenido una calificación mínima de 3,5.
La revisión de la calificación final sigue el mismo procedimiento que para la evaluación continuada.
La metodología docente y la evaluación propuestas pueden experimentar alguna modificación en función de las restricciones a la presencialidad que impongan las autoridades sanitarias.
Esta versión castellana de la guía es traducción de la versión en catalán, en caso de haber alguna discrepancia entre ambas, la versión correcta a todos los efectos es la catalana.
Bibliografía
J. Bruna, Anàlisi Real, UAB Servei de Publicacions, 1996.
J.M. Burgués, Integració i càlcul vectorial, UAB Servei de Publicacions, segona edició, 2002.
J. L. Cerdà Martín, Análisis Real, Col·lecció UB 23, segona edició, 2000.
J. L. Cerdà Martín, Introducció a l'Anàlisi Funcional, Textos Docents 280, Publicacions i edicions UB, 2005.
W. Rudin, Functional analysis, Alambra,1979.
Software
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Lista de idiomas
| Nombre | Grupo | Idioma | Semestre | Turno |
|---|---|---|---|---|
| (PAUL) Prácticas de aula | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | tarde |
| (TE) Teoría | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |