Equacions en Derivades Parcials: Modelització, Anàlisi i Aproximació Numèrica
Codi: 44211 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 4313136 Modelització per a la Ciència i l'Enginyeria | OT | 0 | 2 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Francisco Javier Mora Gine
- Correu electrònic:
- xavier.mora@uab.cat
Idiomes dels grups
Podeu accedir-hi des d'aquest enllaç. Per consultar l'idioma us caldrà introduir el CODI de l'assignatura. Tingueu en compte que la informació és provisional fins a 30 de novembre de 2023.
Equip docent
- Susana Serna Salichs
Prerequisits
Els estudiants haurien de tenir coneixements bàsics de càlcul, àlgebra, equacions diferencials i en derivades parcials, i habilitats bàsiques de programació.
Objectius
Molts fenòmens que es desenvolupen en l'espai i/o el temps es poden modelar mitjançant equacions en derivades parcials. L'objectiu d'aquest curs és proporcionar els conceptes principals sobre aquests models, així com els mètodes numèrics per calcular la seva solució.
Competències
- "Aplicar el pensamiento lógico/matemático: el proceso analítico a partir de principios generales para llegar a casos particulares; y el sintético, para a partir de diversos ejemplos extraer una regla general."
- Analitzar, sintetitzar, organitzar i planificar projectes del seu camp d'estudi.
- Aplicar la metodologia de recerca, tècniques i recursos específics per investigar en un determinat àmbit d'especialització.
- Aplicar les tècniques de resolució dels models matemàtics i els seus problemes reals d'implementació.
- Comunicar en llengua anglesa els resultats dels treballs de l'àmbit d'estudi.
- Extreure d'un problema complex la dificultat principal, separada d'altres qüestions d'índole menor.
- Formular, analitzar i validar models matemàtics de problemes pràctics de diferents camps.
- Resoldre problemes complexos aplicant els coneixements adquirits a àmbits diferents dels originals
- Usar mètodes numèrics apropiats per solucionar problemes específics.
Resultats d'aprenentatge
- "Aplicar el pensament lògic/matemàtic: el procés analític a partir de principis generals per arribar a casos particulars; i el sintètic, para a partir de diversos exemples extreure una regla general."
- Analitzar, sintetitzar, organitzar i planificar projectes del seu camp d'estudi.
- Aplicar la metodologia de recerca, tècniques i recursos específics per investigar en un determinat àmbit d'especialització.
- Aplicar tècniques d'equacions en derivades parcials per predir el comportament futur de certs fenòmens.
- Comunicar en llengua anglesa els resultats dels treballs de l'àmbit d'estudi.
- Extreure d'un problema complex la dificultat principal, separada d'altres qüestions d'índole menor.
- Extreure informació dels models en derivades parcials per interpretar la realitat.
- Identificar fenòmens reals com a models d'equacions en derivades parcials.
- Resoldre problemes complexos aplicant els coneixements adquirits a àmbits diferents dels originals
- Resoldre problemes reals identificant-los adequadament des de l'òptica d'equacions en derivades parcials.
- Utilitzar els mètodes numèrics apropiats que permetin estudiar fenòmens modelats amb equacions en derivades parcials.
Continguts
PART I: MODELS PDE I SEVES PROPIETATS PRINCIPALS
I.0. Introducció: Exemples, diferents tipus d'equacions
I.1. L'equació de la calor. La fórmula de solució del problema del valor inicial pur; el nucli de Gauss. Solució mitjançant el mètode de Fourier en el cas d'un interval acotat amb condicions de contorn de Dirichlet o Neumann. Caràcter dissipatiu de l'equació de calor. Principi de màxim parabòlic.
I.2. L'equació d'ona. La fórmula de solució del problema del valor inicial pur. Solució mitjançant el mètode de Fourier en el cas d'un interval acotat amb condicions de contorn de Dirichlet o Neumann. Caràcter conservador de l'equació d'ona.
I.3. Equació de Laplace amb condicions de contorn de Dirichlet o Neumann. Principi de variació. Principi de màxim el·líptic. El nucli de Poisson. Resolució mitjançant el mètode de Fourier en el cas d'un rectangle, un cercle o una esfera.
I.4. El model de Turing sobre la “base química de la morfogènesi".
I.5. Solucions d'ones mòbils d'equacions de calor no lineals.
I.6. L'equació del trànsit i les lleis de conservació escalar. Xocs. Solucions febles. Rankine-Hugoniot i condicions d'entropia.
I.7. Les equacions de Navier-Stokes.
PART II: MÈTODES NUMÈRICS
II.1. Mètodes de diferències finites per a equacions parabòliques escalars: mètodes explícits d'Euler, implícits d'Euler i Crank-Nicholson: prova d'estabilitat de Von Neumann. Condició d'estabilitat parabòlica Condició de Courant–Friedrichs–Lewy. Exemples.
II.2. Mètodes numèrics per a equacions el·líptiques.
II.3.Mètodes numèrics per a lleis de conservació escalars: mètodes de diferències finites en forma de conservació. Esquemes de captura de xoc. Esquemes monòtons: Lax-Friedrichs i esquemes upwind. Condicions de convergència i estabilitat. Esquemes que satisfacin la condició d'entropia. Exemples.
Metodologia
L'objectiu de les classes de teoria, problemes i pràctiques es donar als alumnes els coneixements mes bàsics de les equacions en derivades parcials i les seves aplicacions.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de teoria i problemes | 30 | 1,2 | 7, 8, 10 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Classes de pràctiques | 8 | 0,32 | 11 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudis i treballs pràctics per part de l'alumne. | 96 | 3,84 | 7, 8, 10 |
Avaluació
Si el curs es pot fer presencial l'avaluació consistira en dos exàmens parcials i en l'entrega de la resolució de un problema mitjançant l'ordinador.
En cas que no es pugues fer el curs presencialment, aleshores els dilluns de cada setmana els alumnes rebran per e-mail els apunts i exercices a estudiar i fer durant aquella setmana, i els divendres rebran els exercicis results. I l'avaluació de l'assignatura és fera fent un treball mitjançant l'ordinador.
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Primer examen parcial | 30% | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
| Segon examen parcial | 30% | 4 | 0,16 | 10 |
| Solució de un problema amb ordinador | 40% | 8 | 0,32 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
Bibliografia
L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (2nd ed.), Providence, R.I., American Mathematical Society, (2010).
B. Gustafson, H-O. Kreiss and J. Oliger, Time dependent problems and Difference Methods, Wiley-Intersciences, (1996).
F. John, Partial Differential equations, vol. 1, Applied Math Sciences, Springer, (1978).
P.D. Lax, Hyperbolic systems of Conservation Laws and The Mathematical Theory of Shock Waves SIAM, 1973.
R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.
Y.Pinchover, J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge 2005.
S. Salsa, Partial differential equations in action : from modelling to theory Springer, 2008.
G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, (1986).
E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A practical Introduction, Springer-Verlag, 2009.
G.B. Whitham Linear and nonlinear Waves, Wiley-Intersciences, (1999).
Programari
Deixem plena llibertat als alumnes per que utilitzin el llenguatge que els hi vagi millor per a fer els exercicis numèrics d'aquesta assignatura.