Logo UAB
2023/2024

Matemātiques II

Codi: 102344 Crčdits: 6
Titulaciķ Tipus Curs Semestre
2501572 Administraciķ i Direcciķ d'Empreses FB 1 2
2501573 Economia FB 1 2

Professor/a de contacte

Nom:
Michael David Creel
Correu electrōnic:
michael.creel@uab.cat

Idiomes dels grups

Podeu accedir-hi des d'aquest enllaį. Per consultar l'idioma us caldrā introduir el CODI de l'assignatura. Tingueu en compte que la informaciķ és provisional fins a 30 de novembre de 2023.


Prerequisits

Per poder efectuar un bon seguiment d'aquesta assignatura caldrà saber manipular correctament els conceptes i eines matemàtiques bàsiques, així com haver assolit prèviament les nocions fonamentals de continuïtat, derivada i anàlisi i representació gràfica de funcions reals d'una variable real que es presenten i treballen al curs de Matemàtiques I.


Objectius

En aquesta assignatura s'introdueix l'alumne a l'estudi de l'àlgebra lineal i de les funcions de diferents variables, posant èmfasi en les seves aplicacions en l'entorn de l'economia. L'alumne hauria de no només adquirir i assimilar nous coneixements matemàtics, sinó també ser capaç d'aplicar-los a l'anàlisi quantitativa que requerirà tant dins l'anàlisi econòmica com en d'altres matèries de l'àmbit empresarial.

Per tant, l'objectiu de l'assignatura és que l'alumne es familiaritzi amb les nocions matemàtiques bàsiques que després utilitzarà en l'estudi de la teoria i l'anàlisi econòmica.

En concret els objectius que es pretenen assolir són:

1. Familiaritzar l'estudiant amb l'espai euclidià n-dimensional.

2. Treballar amb determinants i matrius.

3. Resoldre sistemes d'equacions lineals.

4. Entendre les funcions de diferents variables i el seu paper en models econòmics més complexes.

5. Representar geomètricament funcions de dues variables fent ús dels mapes de corbes de nivell.

6. Entendre la noció de límit d'una funció en un punt i de funció contínua.

7. Entendre el Teorema de Weierstrass.

8. Familiaritzar l'estudiant amb les derivades parcials de les funcions de diferents variables i amb el concepte de diferenciabilitat.

9. Utilitzar les derivades parcials per a l'obtenció del pendent de la corba de nivell en un punt i per a realitzar exercicis d'estàtica comparativa.

10. Resoldre problemes d'optimització sense restriccions i amb restriccions d'igualtat.


Competčncies

    Administraciķ i Direcciķ d'Empreses
  • Aplicar els instruments matemātics per sintetitzar situacions econōmiques i empresarials complexes.
  • Capacitat de comunicaciķ oral i escrita en catalā, castellā i anglčs, que permeti sintetitzar i presentar oralment i per escrit la feina feta.
  • Demostrar que es comprčn el llenguatge matemātic i alguns mčtodes de demostraciķ.
  • Organitzar la feina, pel que fa a una bona gestiķ del temps i a la seva ordenaciķ i planificaciķ.
  • Utilitzar les tecnologies de la informaciķ disponibles i adaptar-se als nous entorns tecnolōgics.
    Economia
  • Aplicar els instruments matemātics per sintetitzar situacions econōmiques i empresarials complexes.
  • Capacitat de comunicaciķ oral i escrita en catalā, castellā i anglčs, que permeti sintetitzar i presentar oralment i per escrit la feina feta.
  • Capacitat de continuar aprenent en el futur de manera autōnoma, aprofundint els coneixements adquirits o iniciant-se en noves ārees de coneixement.
  • Demostrar que es comprčn el llenguatge matemātic i alguns mčtodes de demostraciķ.
  • Iniciativa i capacitat de treballar autōnomament quan la situaciķ ho demani.
  • Organitzar la feina, pel que fa a una bona gestiķ del temps i a la seva ordenaciķ i planificaciķ.
  • Que els estudiants hagin demostrat que comprenen i tenen coneixements en una ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es basa en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda d?'aquell camp d'estudi.
  • Que els estudiants hagin desenvolupat aquelles habilitats d'aprenentatge necessāries per emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
  • Que els estudiants puguin transmetre informaciķ, idees, problemes i solucions a un públic tant especialitzat com no especialitzat.
  • Que els estudiants sāpiguen aplicar els coneixements propis a la seva feina o vocaciķ d'una manera professional i tinguin les competčncies que se solen demostrar per mitjā de l'elaboraciķ i la defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
  • Utilitzar les tecnologies de la informaciķ disponibles i adaptar-se als nous entorns tecnolōgics.

Resultats d'aprenentatge

  1. Aplicar els teoremes de la funciķ inversa i de la funciķ implícita a problemes concrets.
  2. Calcular derivades de funcions mitjanįant la regla de la cadena, el teorema de la funciķ implícita, etc.
  3. Calcular determinants i descomposicions de matrius.
  4. Calcular i estudiar extrems de funcions.
  5. Capacitat de comunicaciķ oral i escrita en catalā, castellā i anglčs, que permeti sintetitzar i presentar oralment i per escrit la feina feta.
  6. Capacitat de continuar aprenent en el futur de manera autōnoma, aprofundint els coneixements adquirits o iniciant-se en noves ārees de coneixement.
  7. Classificar matrius i aplicacions lineals segons diversos criteris (rang, formes diagonal i de Jordan).
  8. Cončixer els resultats bāsics del cālcul diferencial en diverses variables reals.
  9. Iniciativa i capacitat de treballar autōnomament quan la situaciķ ho demani.
  10. Organitzar la feina, pel que fa a una bona gestiķ del temps i a la seva ordenaciķ i planificaciķ.
  11. Plantejar i resoldre analíticament problemes d'optimitzaciķ en l'āmbit de l'economia.
  12. Que els estudiants hagin demostrat que comprenen i tenen coneixements en una ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es basa en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda d?'aquell camp d'estudi.
  13. Que els estudiants hagin desenvolupat aquelles habilitats d'aprenentatge necessāries per emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
  14. Que els estudiants puguin transmetre informaciķ, idees, problemes i solucions a un públic tant especialitzat com no especialitzat.
  15. Que els estudiants sāpiguen aplicar els coneixements propis a la seva feina o vocaciķ d'una manera professional i tinguin les competčncies que se solen demostrar per mitjā de l'elaboraciķ i la defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
  16. Resoldre i discutir sistemes d'equacions lineals.
  17. Treballar amb diferents bases d'espais vectorials de dimensiķ finita.
  18. Utilitzar les tecnologies de la informaciķ disponibles i adaptar-se als nous entorns tecnolōgics.

Continguts

PART I. ÀLGEBRA LINEAL

Tema 1. ÀLGEBRA DE VECTORS I MATRIUS

1.1. Sistemes d'equacions lineals

1.2 Operacions amb matrius i vectors

1.2. Dependència i independència lineal de vectors

1.3. Propietats de les operacions bàsiques i les interpretacions geomètriques

1.4. Norma i distància euclidiana

1.5. Conjunts, línies i plans

Tema 2. CÀLCUL MATRICIAL

2.1. Matrius, determinants, matrius inverses i rang

2.2. Resolució de sistemes d’equacions amb matrius

PART II. FUNCIONS DE VÀRIES VARIABLES

Tema 3. ESTUDI DE FUNCIONS DE VARIES VARIABLES

3.1. Característiques de les funcions de varies variables

3.2. Representació geomètrica

3.3. Superfícies i distàncies

3.4. Corbes de nivell

Tema 4. DERIVADES PARCIALS I FUNCIONS DIFERENCIABLES

4.1. Derivada de una funció en un punt en la direcció d'un vector unitari

4.2. Derivades parcials

4.3. Gradient de la funció en un punt. Interpretació geomètrica i derivades direccionals

4.4. Funcions diferenciables. Continuïtat de les funcions derivades parcials

4.5. Regla de la cadena

4.6 Derivades parcials de combinacions lineals i de formes quadràtiques

4.7 Aproximacions de Taylor de primer i segon ordre

Tema 5. TEOREMA DE LA FUNCIÓ IMPLÍCITA I TEOREMA DE LA FUNCIÓ INVERSA

5.1. Teorema de la funció implícita

5.2. Teorema de la funció inversa

5.3. Aplicacions i intuïcions geomètriques

PART III. OPTIMITZACIÓ AMB VÀRIES VARIABLES

Tema 6. OPTIMITZACIÓ SENSE RESTRICCIONS

6.1. Òptims locals i globals

6.2. Condicions de primer i segon ordre per dels òptims locals

6.3. Òptims globals de funcions còncaves i convexes

Tema 7. OPTIMITZACIÓ AMB RESTRICCIONS

7.1. Programes de maximització i minimització amb restriccions d'igualtat

7.2. Òptims restringits locals. Teorema de Lagrange

7.3. Òptims restringits globals de funcions còncaves i convexes

7.4 Teorema de Weierstrass

 


Metodologia

Les activitats que permetran l'assimilació per part de l'alumne dels conceptes bàsics del curs seran:

1. Classes teòriques on els professors desenvoluparan els principals conceptes.

L'objectiu d'aquesta activitat és presentar les nocions fonamentals i facilitar l'aprenentatge de l'alumne posant èmfasi en les aplicacions econòmiques de les matemàtiques apreses.

2. Docència tutelada on els professors aplicaran els conceptes estudiats a famílies concretes de funcions de diferents variables.

L'objectiu d'aquesta activitat és potenciar la independència de l'alumne en el procés d'aprenentatge aplicant els conceptes teòrics a famílies de funcions de varies variables.

3. Resolució de llistes de problemes per part dels alumnes

Cada tema tindrà associat una llista de problemes que haurà de ser resolta de manera autònoma. L'objectiu d'aquesta activitat es doble, ja que per una banda pretén que l'alumne assimili els conceptes teòrics exposats a classe i per l'altra que adquireixi la destresa necessària per a resoldre problemes.

Es potenciarà la resolució cooperativa de problemes, en el marc de grups de treball de 3 o 4 estudiants, que siguin estables durant tot el semestre, i que col·laborin en el treball en equip per a superar dificultats que puguin tenir alguns dels seus components.

4. Classes de problemes on es discutirà la resolució dels problemes

Aquesta activitat té com a finalitat comentar i resoldre elsdubtes que els alumnes hagin pogut tenir durant la resolució dels problemes per tal que aquests puguin entendre i al mateix temps corregir els possibles errors comesos.

5. Tutories presencials

L'alumne disposarà d'unes hores on els professors del'assignatura podran resoldre els dubtes de manera presencial.

 

La metodologia docent proposada pot experimentar alguna modificació en funció de les restriccions a la presencialitat que imposin les autoritats sanitàries.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulaciķ, per a la complementaciķ per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluaciķ de l'actuaciķ del professorat i d'avaluaciķ de l'assignatura/mōdul.


Activitats formatives

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Tipus: Dirigides      
Classes de teoria 32,5 1,3 1, 2, 3, 4, 7, 8, 11, 16, 17
Preparaciķ i resoluciķ d'exercisis 17 0,68 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18
Tipus: Supervisades      
Seguiment del treball a realitzar 3 0,12 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18
Tutories 7 0,28 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18
Tipus: Autōnomes      
Estudi 45 1,8 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18
Preparaciķ i resoluciķ d'exercicis 40 1,6

Avaluaciķ

Aquesta assignatura/mòdul no preveu el sistema d’avaluació única.

L’avaluació de l’assignatura es durà a terme de forma continuada, mitjanant avaluacions parcials i un examen final. La tipologia d’activitats i el seu pes a la nota final és el següent:

-          Examen final: 50% de la nota final

-          Examen parcial: 30% de la nota final

-          Activitats a lliurar i d'avaluació continuada: 20% de la nota final

La nota final serà la mitjana ponderada de les activitats. No s’estableix la política de nota mínima per a cap activitat.

 

Examen final:

Inclou tota la matèria de curs. L'examen està dissenyat perquè l'estudiant es vegi forçat a realitzar un últim esforç d'aprenentatge que és necessari per a consolidar els coneixements prèviament adquirits. El temps de resolució màxim serà de 2 hores.

Si aplicant els pesos mencionats anteriorment la qualificació de l'alumne és 5 o superior, es considera superada l'assignatura i aquesta no podrà ser objecte d'una nova avaluació. 

Un alumne es considera que està "No Avaluat" a la assignatura sempre i quan no hagi participat de cap de les activitats d'avaluació. Per tant, es considera que un estudiant que realitza alguna component d'avaluació continuada ja no pot optar a un "No Avaluat”.

 

Calendari d’activitats d’avaluació

Les dates de les diferents proves d'avaluació (exàmens parcials, exercicis en aula, entrega de treballs, ...) s'anunciaran amb suficient antelació durant el semestre.

La data de l'examen final de l'assignatura està programada en el calendari d'exàmens de la Facultat.

"La programació de les proves d’avaluació no es podrà modificar, tret que hi hagi un motiu excepcional i degudament justificat pel qual no es pugui realitzar un acte d’avaluació. En aquest cas, les persones responsables de les titulacions, prèvia consulta al professorat i a l’estudiantat afectat, proposaran una nova programació dins del període lectiu corresponent."  Apartat 1 de l'Article 115. Calendari de les activitats d’avaluació (Normativa Acadèmica UAB)  

Els estudiants i les estudiantes de la Facultat d'Economia i Empresa que d'acord amb el paràgraf anterior necessitin canviar una data d'avaluació han de presentar la petició omplint el document Sol·licitud reprogramació prova  https://eformularis.uab.cat/group/deganat_feie/nou-reprogramacio-proves

 

Procediment de revisió de les qualificacions

Coincidint amb l'examen final s'anunciarà el dia i el mitjà en que es publicaran les qualificacions finals. De la mateixa manera s'informarà del procediment, lloc, data i hora de la revisió d'exàmens d'acord amb la normativa de la Universitat.

 

Procés de Recuperació

“Per participar al procés de recuperació l'alumnat ha d'haver estat prèviament avaluat en un conjunt d'activitats que representi un mínim de dues terceres parts de la qualificació total de l'assignatura o mòdul.” Apartat 3 de l'Article 112 ter. La recuperació (Normativa Acadèmica UAB). Els estudiants i les estudiants han haver obtingut una qualificació mitjana de l’assignatura entre 3,5 i 4,9.

La data d’aquesta prova estarà programada en el calendari d'exàmens de la Facultat. L'estudiant que es presenti i la superi aprovarà l'assignatura amb una nota de 5. En cas contrari mantindrà la mateixa nota.

 

Irregularitats en actes d’avaluació  

Sense perjudici d'altres mesures disciplinàries que s'estimin oportunes, i d'acord amb la normativa acadèmica vigent, "en cas que l’estudiant realitzi qualsevol irregularitat que pugui conduir a una variació significativa de la qualificació d’un acte d’avaluació, es qualificarà amb 0 aquest acte d’avaluació, amb independència del procés disciplinari que s’hi pugui instruir. En cas que es produeixin diverses irregularitats en els actes d’avaluació d’una mateixa assignatura, la qualificació final d’aquesta assignatura serà 0".  Apartat 10 de l'Article 116. Resultats de l'avaluació. (Normativa Acadèmica UAB)

 

Codi d’honor:

Sense perjudici d'altres mesures disciplinàries que s'estimin oportunes, i d'acord amb la normativa acadèmica vigent, es qualificaran amb un zero les irregularitats comeses per l'estudiant que puguin conduir a una variació de la qualificació d'un acte d'avaluació. Per tant, copiar o deixar copiar una pràctica o qualsevol altra activitat d'avaluació implicarà suspendre-la amb un zero,isiés necessari superar-laper aprovar, tota l'assignatura quedarà suspesa. No seran recuperables les activitats d'avaluació qualificades d'aquesta forma i per aquest procediment, i per tant l'assignatura serà suspesa directament sense oportunitat de recuperar-la en el mateix curs acadèmic.

 

L'avaluació proposada pot experimentar alguna modificació en funció de les restriccions a la presencialitat que imposin les autoritats sanitàries


Activitats d'avaluaciķ continuada

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Activitats entregables i d'avaluaci? continuada 20% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
Examen final 50% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 7, 8, 11, 16, 17
Examen parcial 30% 1,5 0,06 1, 2, 3, 4, 7, 8, 11, 16, 17

Bibliografia

Bibliografia bàsica

Sydsaeter, K., P.J. Hammond, i A. Carvajal, 2012, Matemáticas para el Análisis Económico. Ed. Prentice Hall, Madrid.

Aquest és un manual de gran acceptació i tradició i que gràcies a les seves renovades edicions ha aconseguit ser un referent. A més, cobreix el temari de l'assignatura Matemàtiques per a Economistes I. És un text complet, assequible i dirigit a les aplicacions econòmiques.

Els mateixos autors tenen un altre llibre de nivell una mica més senzill, només en anglès. També és una bona opció com llibre principal, per a la gent que llegeix anglès:

Sydsaeter, K. and P.J. Hammond, 2012, Essential Mathematics for Economic Analysis. Fourth edition. Pearson Education.

 

Bibliografia complementària

Els manuals que es detallen a continuació poden ser de gran utilitat a per l'alumne, ja sigui perquè desitgi complementar les explicacions exposades en el manual de referència o perquè vulgui ampliar els seus coneixements.

Alegre, P., L. Jorba, F.J. Orti, G. Rodriguez, J.B. Saez, T. Sancho i A. Terceño, 2000, Ejercicios Resueltos de Matemáticas Empresariales II. Editorial Alfacentauro, Madrid.

Besada, M., F.J. García, M.A. Mirás i M.C. Vázquez, 2001, Cálculo de varias variables. Cuestiones y ejercicios resueltos, Ed. Prentice Hall, Madrid.

Chiang, A.C., 2006, Métodos Fundamentales de Economía Matemàtica, Ed. McGraw-Hill, Madrid.

Larson, R.i R. Hostetler i B. Edwards, 2006, Cálculo II de varias variables, Ed. Mc Graw Hill, Méjico.

Al web de l'assignatura al campus virtual s'afegirà material complementari a criteri del professorat de la mateixa.


Programari

_