Geometria diferencial
Codi: 100107 Crèdits: 12| Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OB | 3 | 2 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Florent Nicolas Balacheff
- Correu electrònic:
- florent.balacheff@uab.cat
Idiomes dels grups
Podeu accedir-hi des d'aquest enllaç. Per consultar l'idioma us caldrà introduir el CODI de l'assignatura. Tingueu en compte que la informació és provisional fins a 30 de novembre de 2023.
Equip docent
- Marcel Nicolau Reig
- David Marín Pérez
Prerequisits
A l’hora d’assimilar els continguts de l’assignatura, serà convenient tenir un bon coneixement previ de Càlcul en diverses variables (diferenciabilitat, difeomorfisme, teorema de la funció inversa i integració), Àlgebra i geometria lineals (espais euclidians, formes bilineals, diagonalització d’endomorfismes autoadjunts), i de Topologia (obert, connexitat, homeomorfisme). També es faran servir resultats de les assignatures d’Equacions diferencials (teorema d’existència i unicitat de solucions, i cas particular dels sistemes d’equacions diferencials lineals), i de Fonaments de les matemàtiques (grup simètric).
Objectius
La Geometria Diferencial és clau a l’hora d’entendre el món que ens envolta. Serveix com a fonament de la física teòrica, donant-li el marc rigorós necessari per a la formalització d’algunes de les seves teories, des de l’Electrodinàmica clàssica de Maxwell fins a la Relativitat Restringida i la Relativitat General d’Einstein. La geometria també ens ensenya com podem pensar en dimensions més grans que l’espai tridimensional en què vivim, i obre el nostre horitzó de reflexió.
L’objectiu fonamental d’aquesta assignatura és entendre com es pot flexibilitzar els objectes geomètrics lineal que són els subespais afins, en objectes geomètrics corbats o retorçats.
Estudiarem en primer lloc les corbes parametritzades de l’espai euclidià, descrivint els diferents invariants que podem definir segons la dimensió en què es desenvolupen: curvatura en qualsevol dimensió, curvatura amb signe en dimensió 2, i finalment torsió i referència de Frenet en dimensió 3. En segon lloc explicarem com podem generalitzar les corbes, pensades com objectes non-lineals unidimensionals, a la dimensió superior. Serà l’introducció del concepte de subvarietats que necessitarà explorar l’estructura local de les aplicacions diferenciables infinitesimalment injectives o exhaustives (immersions i submersions). Aquest nou concepte de subvarietat serà indispensable a l’hora d’entendre els continguts que se presentaran a les optatives de Topologia de les varietats i Geometria riemanniana de 4rt curs. En una tercera part, estudiarem profundament aquest nou concepte en el cas molt particular que correspon a la nostra realitat quotidiana. Serà la noció de superfícies regulars, per les quals definirem la noció de primera i segona forma fonamental, i de curvatura. També estudiarem com es comportan les corbes sobre aquests objectes geomètrics, fent la relació entre els invariants descrits dins la primera part de l’assignatura i aquesta tercera. A més introduirem famílies especials de corbes sobre les superfícies com les geodèsiques, les línies de curvatura o les línies asimptòtiques. En l’última part, presentarem la noció de forma diferencial. Aquí, tornarem a fer un salt en el grau d’abstracció fins a definir la noció d’integració de formes diferencials en les subvarietats descrites a la segona part. La recompensa d’aquest treball teòric serà l’obtenció del teorema de Stokes que serà la conclusió del recorregut proposat en aquesta assignatura.
Competències
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Assimilar la definició d'objectes matemàtics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Demostrar una elevada capacitat d'abstracció.
- Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bàsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Reconèixer la presència de les Matemàtiques en altres disciplines
- Utilitzar aplicacions informàtiques d'anàlisi estadística, càlcul numèric i simbòlic, visualització gràfica, optimització o altres per experimentar en Matemàtiques i resoldre problemes
Resultats d'aprenentatge
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Aplicar les integrals de línia i superfície per reconèixer algunes propietats globals de corbes i superfícies.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Entendre les aplicacions del càlcul vectorial i de la geometria diferencial a problemes de la física.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Reconèixer la naturalesa dels punts d'una corba en R3. Càlcul de curvatura i torsió.
- Reconèixer la naturalesa dels punts d'una superfície en R3. Càlcul de la curvatura de Gauss, curvatura mitjana i curvatures principals.
- Reconèixer topològicament les superfícies compactes i la seva classificació.
- Saber plantejar i resoldre integrals curvilínies i integrals de superfície.
- Usar algun tipus de programari científic per realitzar càlculs i visualitzar superfícies
Continguts
1. Corbes Parametritzades
1.1. Corbes parametritzades de Rn: definicions, longitud, canvi de paràmetre, paràmetre d’arc, curvatura i vector normal.
1.2. Geometria de les corbes de R2: curvatura amb signe, punts singulars.
1.3. Geometria de les corbes de R3: torsió i fórmules de Frenet, forma canònica local, teorema fonamental de la teoria local, torsió i fórmules de Frenet dins el cas general.
2. Subvarietats
2.1. Estructura local de les immersions i submersions: definicions, teoremes d’estructura local.
2.2. Subvarietats: definició, caracteritzacions, parametritzacions locals, espai tangent, aplicacions diferenciables.
3. Superfícies Regulars
3.1. Primera forma fonamental: definició, calcul de longitud, àrea, isometries. 3.2. Segona forma fonamental: orientació, definició, curvatures principals, de Gauss, i mitjana, expressió local, curvatura normal, linies de curvatura i asimptò- tiques.
3.3. Teorema Egregium de Gauss: símbols de Christoffel, expressió de la curva- tura de Gauss.
3.4. Geodèsiques: camp vectorial al llarg d’una corba, derivada covariant, trans- port paral·lel, geodèsica, curvatura geodèsica.
4. Formes Diferencials
4.1. Camps vectorials de Rn: definicions, corbes integrals.
4.2. Àlgebra multilineal: formes multilineals, producte exterior, avaluació via el determinant, descomposició.
4.3. Formes diferencials sobre Rn: definició, diferencial exterior, pullback, forma volume sobre Rn.
4.4. Subvarietats amb vora: definicions, camps vectorials, formes diferencials i orientació.
4.5. Integració i teorema de Stokes: integració de formes diferencials, teorema de Stokes.
Metodologia
L’assignatura disposa de tres hores de classe de teoria, dos de problemes, i dos de seminaris/pràctiques a la setmana durant 15 setmanes del curs.
A les classes de teoria s’introduiran els conceptes fonamentals i s’explicaran els temes del programa tot encoratjant els estudiants a preguntar i participar activament a classe.
A les classes de problemes es resoldran exercicis i s’analitzaran qüestions que aclareixin i desenvolupin les nocions introduïdes a les classes de teoria. Aquest treball es durà a terme mitjançant les explicacions fetes pel professor a la pissarra i la participació activa dels estudiants en la discussió dels diferents arguments emprats per tal de solucionar els problemes, que l’alumne haurà d’haver pensat prèviament en hores d’estudi, individualment o en grup.
Les sessions de seminari estan principalment dedicades a desenvolupar alguns temes per part de l’alumne, però també a aprofundir de forma autònoma en les qüestions tractades a classe de teoria. Durant la sessió, els alumnes donaran resposta a les qüestions plantejades guiats pels professors que resoldran dubtes puntuals i comentaran els aspectes més importants del tema a desenvolupar. En finalitzar cada sessió els professors informaran als alumnes si han d’entregar un informe per escrit amb la resolució d’algunes de les qüestions formulades.
A part d’això està previst l’entrega per part de l’alumnat d’exercicis personalitzats a resoldre en línia mitjançant la plataforma ACME.
Nota: Es reservaran 15 minuts d’una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l’alumnat de les enquestes d’avaluació de l’actuació del professorat i d’avaluació de l’assignatura/mòdul.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problemes | 30 | 1,2 | 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13 |
| Classes de teoria | 45 | 1,8 | 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Classes de seminari | 28 | 1,12 | 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi personal | 178 | 7,12 | 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13 |
Avaluació
La nota final (d’avaluació continuada) de l’assignatura es calcularà de la manera següent:
- Un 30% de la nota correspondrà a la realització d’un examen parcial.
- Un 25% de la nota correspondrà a lliuraments de problemes i/o pràctiques. En particular, l'assistència als seminaris és obligatòria.
- Un 45% de la nota correspondrà a la realització d’un examen final.
L’alumne supera l’assignatura si la seva nota final és superior o igual a 5. Hi haurà un examen de recuperació, que permetrà recuperar la nota dels exàmens parcial i final. La nota de lliurament d’exercicis i/o pràctiques no és recuperable, i per tant la nota de l’examen de recuperació tindrà un pes del 75% en la nota final.
L’exàmen de recuperació pot utilitzar-se per millorar la nota però, en tots els casos, la nota de l’examen de recuperació substituirà la suma de les notes dels dos exàmens parcial i final. Per poder assistir a la recuperació, l’alumne ha hagut d’haver estat avaluat prèviament d’activitats d’avaluació continuada que equival- guin a 2/3 de la nota final.
Després de l’examen final s’atorgaran les matrícules d’honor. Aquestes matrícules d’honor seran ja definitives. Es considera que l’alumne es presenta a l’avaluació del curs si ha participat en activitats d’avaluació que superin el 50% del total. En cas contrari la seva qualificació serà de No Avaluable.
L’avaluació única de l’assignatura constarà de les següents activitats d’avaluació:
- Realització de l'examen final, per un 45% de la nota.
- Lliurament el dia de l'examen final de les entregues demanades als seminaris, per un 25% de la nota final. En particular, l'assistència als seminaris és obligatòria.
- Realització d'un examen oral, per un 30% de la nota.
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Examen E1 | 30% | 3 | 0,12 | 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 |
| Examen E2 | 45% | 3 | 0,12 | 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 |
| Examen de recuperació ER | 75% | 3 | 0,12 | 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 |
| Lliurament d'informes i problemes P | 25% | 10 | 0,4 | 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 |
Bibliografia
Manfredo P. do Carmo. Geometría diferencial de curvas y superfícies. Alianza Editorial (1990).
Theodore Shifrin. Differential Geometry: A First Course in Curves and Surfaces. Accesible a la pàgina de l'autor (2021).
Sebastián Montiel y Antonio Ros. Curvas y superfícies. Proyecto Sur (1998).
Michael Spivak. Cálculo en Variedades. Ed. Reverté (1970).
Victor A. Toponogov. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Birkhäuser (2006).
Shoshichi Kobayashi. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Springer (2019).
Programari
En alguns dels seminaris s'utilitzarà el programa SageMath.