Anālisi complexa i de Fourier
Codi: 100103 Crčdits: 6| Titulaciķ | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemātiques | OB | 3 | 2 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Joan Josep Carmona Domčnech
- Correu electrōnic:
- joanjosep.carmona@uab.cat
Idiomes dels grups
Podeu accedir-hi des d'aquest enllaį. Per consultar l'idioma us caldrā introduir el CODI de l'assignatura. Tingueu en compte que la informaciķ és provisional fins a 30 de novembre de 2023.
Equip docent
- Juan Jesús Donaire Benito
- Juan Carlos Cantero Guardeņo
Prerequisits
És un assignatura de tercer curs per tant els alumnes ja tenen un cert bagatge matemàtic necessari per a seguir-la. Malgrat que serà bastant auto continguda certs coneixements previs són imprescindibles. Per exemple la teoria de sèries i sèries de potències i les integrals impròpies de l’Anàlisi Matemàtica i el càlcul diferencial en diverses variables. Malgrat que alguns aspectes dels nombres complexos ja s'han vist en altres cursos, aquí es tornaran a repetir per facilitar l'aprenentatge dels alumnes.
Objectius
Conèixer i saber utilitzar els conceptes i resultats fonamentals de l'Anàlisi Complexa.
Entendre les demostracions dels resultats més importants i les tècniques més habituals de l'àrea. També serà un objectiu el veure la gran diferència que hi entre els resultats per a funcions reals diferenciables i --per la funcions holomorfes.
Competčncies
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Assimilar la definiciķ d'objectes matemātics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Calcular, reproduir determinades rutines i processos matemātics amb agilitat
- Comprendre i utilitzar el llenguatge matemātic
- Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
- Recončixer la presčncia de les Matemātiques en altres disciplines
- Utilitzar aplicacions informātiques d'anālisi estadística, cālcul numčric i simbōlic, visualitzaciķ grāfica, optimitzaciķ o altres per experimentar en Matemātiques i resoldre problemes
Resultats d'aprenentatge
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Contrastar els coneixements teōric-prāctics adquirits.
- Cončixer els resultats bāsics i les propietats fonamentals de les funcions holomorfes i la teoria de Cauchy.
- Cončixer les transformacions de Fourier i de Laplace de funcions elementals i seu aplicaciķ a la resoluciķ d'equacions diferencials.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Manejar amb facilitat el calcul de residus i les seves aplicacions
- Manejar amb soltesa transformacions homogrāfiques i la representaciķ conforme.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
- Saber calcular coeficients de Fourier de funcions periōdiques i les seves possibles aplicacions immediates en cālcul de sumes de sčries.
Continguts
1. Preliminars. Nombres complexos. Sèries de potències. Funcions holomorfes. Equacions de Cauchy-Riemann.
2. Teoria Local de Cauchy. Integrals de línia complexes. Teorema de Cauchy-Goursat i el Teorema local de Cauchy. Holomorfia i analiticitat. Zeros de funcions holomorfes. L’index d’una corba tancada. Fórmula integral de Cauchy. Prolongació analítica. Desigualtats de Cauchy, Teorema de Liouville i Teorema Fonamental de l'àlgebra. El principi del mòdul màxim. Lema de Schwarz.
3. Singularitats. Sèries de Laurent. Classificació de les singularitats aïllades. Teorema dels residus i aplicacions. El principi de l'argument i el Teorema de Rouché.
4. Funcions harmòniques. Propietats bàsiques de les funcions harmòniques. Funcions harmòniques en un disc. Problema de Dirichlet.
5. Transformades. Transformada de Fourier. Transformada de Laplace. Propietats bàsiques. Aplicacions en la resolució d’equacions.
5' Convergència en l'espai de funcions holomorfes. Teorrema de Weierstras. Teorema de Hurwitz. Teorema de representació conforme de Riemann.
NOTA: ES farà el capítol 5 o el 5' en funció del temps disponible i de forma que el curs quedi més complet. Els dos darrers anys s'ha fet el tema 5', i va en la direcció de la nova assignatura que estarà programanda en el nou pla d'estudis que està en tràmit d'aprovació.
Metodologia
L’assignatura té dues hores de teoria setmanals. S'impartiran de manera tradicional amb guix i pissarra. En la teoria on s'aniran desgranant els conceptes i enunciant els resultats importants (teoremes) que basteixen la teoria que anem introduint.
Ens dedicarem a demostrar els teoremes i els mètodes de resolució mitjançant exemples i exercicis.
L'alumne rebrà unes llistes d'exercicis i problemes sobre les que treballarem a la classe setmanal de problemes. Prèviament, durant la seva activitat no presencial, haurà llegit i pensat els exercicis i problemes proposats. D'aquesta manera es podrà garantir la seva participació a l'aula i es facilitarà l'assimilació dels continguts procedimentals.
Es faran tres sessions de seminaris, de dues hores de durada cadascuna. Els alumnes tindran material prèviament posat al Campus Virtual que s’hauran d'haver estudiat. En les dues primeres sessions hi haurà una primera part (curta) on el professor complementarà algun detall sobre el contingut de la pràctica. Després els alumnes es posaran a treballar en una llista d'activitats. Les pràctiques es podran fer en parelles, que sembla que els ajuda molt. La tercera sessió dels seminaris serà avaluable. Els temes previstos són un estudi més a fons de les transformacions de Möbius i més aplicacions del teorema dels residus en el càlcul d’integrals definides. Sobre aquests temes tractarà l’avaluació.
El Campus Virtual serà el mitjà de comunicació entre professors i alumnes. Serà important consultar-lo dia a dia.
Els alumnes disposaran de servei de tutoria i assessorament tant de forma telemàtica com tutories al despatx. Es recomana utilitzar aquest ajut per al seguiment del curs.
Nota: es reservaran 15 minuts d’una classe dins del calendari establert per centre /titulació per a la complementació per part de l’alumnat en els enquestes d’avaluació de l’actuació del professorat i d’avaluació de l’assignatura/mòdul.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulaciķ, per a la complementaciķ per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluaciķ de l'actuaciķ del professorat i d'avaluaciķ de l'assignatura/mōdul.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Problemes | 14 | 0,56 | 3, 4, 6, 7, 10 |
| Seminari | 6 | 0,24 | 3, 4, 6, 7, 10 |
| Teoria | 28 | 1,12 | 3, 4, 6, 7, 10 |
| Tipus: Autōnomes | |||
| Estudi | 88 | 3,52 | 3, 4, 6, 7, 10 |
Avaluaciķ
L'aprenentatge de les matemàtiques és un procés complex. Es necessita una maduració que s’aconsegueix al llarg del curs. Molts cops algun resultat del principi de la teoria s’arriba a entendre completament molt avançat el curs. Això mostra la dificultat de les avaluacions.
A la universitat hi ha el model d’avaluació continuada que no és viable tal com es fa a l’ensenyament secundari ja que ni hi ha la logística ni les possibilitats de portar-ho a terme. Llavors es fa un model, que tingui certa similitud a una avaluació continuada, i que obligui als alumnes a fer l’estudi podem dir cada dia.
Es realitzaran dos exàmens parcials escrits durant el semestre, els quals consistiran principalment en la resolució de problemes, però també contindran una part teòrica. Tindran una qualificació P1 i P2 respectivament. El primer tindrà una ponderació del 35% i el segon del 45%.
La prova del seminari assignarà una qualificació S de fins el 20%.
La qualificació per avaluació continuada s’obtindrà amb la fórmula
QC= 0,35*P1+0,45*P2+0,2*S.
Si QC és més gran o igual que 5 el curs estarà superat. En cas contrari l’alumne podrà presentar-se a una recuperació, i obtindrà una qualificació R i una
QC’= 0,8* R+0,2*S.
Per poder presentar-se a la recuperació s’exigeix que el màxim de P1 i P2 sigui més gran o igual que 1. També podrà optar a presentar-se les persones que vulguin millorar nota. La nota de curs sempre serà
QF=màxim{QC, QC’}.
Les possibles matrícules d'honor seran atorgades respectant les normatives vigents i un cop completada tota l'avaluació, possible recuperació inclosa.
Si un alumne s’ha presentat solament a una prova d’avaluació si li posarà "No avaluable" de qualificació final.
AVALUACIÓ ÚNICA:
Les persones, que per causes molt justificades, no puguin fer les avaluació continuada, podran fer l’avaluació única. Aquesta opció s’haurà de demanar amb els requisits que fixi la titulació. Les persones acceptades podran fer l’examen conjuntament amb l’examen de recuperació en el qual s’afegiran dues preguntes sobre els seminaris, obtindrà un nota S. La seva qualificació serà
QC’=0,8*R+0,2*S
Si QC’ supera el 3,5 i no arriba a 5, l’alumne tindrà una opció de recuperació en les mateixes condicions. Si QC’ no supera el 3,5, aquesta serà la nota que se li adjudicarà.
Activitats d'avaluaciķ continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Examen de recuperaciķ | 80 | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| Primer parcial | 35 | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 |
| Segon Parcial | 45 | 4 | 0,16 | 3, 4, 6, 8, 9 |
| Seminaris | 20 | 2 | 0,08 | 3, 4, 6, 7, 10 |
Bibliografia
Bibliografia bàsica:
1) L. Ahlfors, Complex Analysis. Mc Graw-Hill. 3ra edició, 1979.(És una referència clàssica que amb un format reduït tracta moltíssims temes de forma rigorosa).
2) J. Conway, Functions of One Complex Variable, second Edition, Springer Verlag, 1978. (Abarca molt més que el curs i conté molts problemes).
3) J. P. D'Angelo, An introduction to Complex Analysis and Geometry; A.M.S. 2010 (És una introducció de nivell molt més elemental que els anteriors).
4) B. Davis, Transforms and Their Applications, Thrid Edition, Springer (2001) (Serveix com a inici i aprofundiment en l’estudi del món de les transformacions integrals).
Bibliografia complementària:
1) J. Bruna, J. Cufí, Anàlisi Complexa, Manuals UAB 49, 2008.
2) R. Burckel, Introduction to classical complex Analysis, vol I, Academic Pres, 1979.
3) W. Rudin, Análisi Real y Complexo, Alhambra, 1979
4) S. Saks et A. Zygumund, Fonctions Analytiques, Massin et Cie, 1970.
5) M. Stein, R: Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003.
Programari
En l’assignatura no hi ha previstes classes de pràctiques d’ordinador, per tant no es farà cap estudi de programes informàtics. Malgrat això es recomanarà usar programes de manipulació matemàtica com el Maxima o el Wolfram Alpha que els pot ser de molta utilitat.