Teoría de Galois
Código: 100102 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OB | 3 | 1 |
Contacto
- Nombre:
- Francesc Xavier Xarles Ribas
- Correo electrónico:
- xavier.xarles@uab.cat
Idiomas de los grupos
Puede consutarlo a través de este enlace. Para consultar el idioma necesitará introducir el CÓDIGO de la asignatura. Tenga en cuenta que la información es provisional hasta el 30 de noviembre del 2023.
Equipo docente
- Pere Ara Bertran
- Jaume Coll Guerrero
Prerrequisitos
Para un buen seguimiento de la asignatura es necesario tener presente la Teoría de Grupos vista a la asignatura de Estructuras Algebraicas. Los grupos se usan de manera esencial dentro de la asignatura. De cara a poder trabajar con ejemplos, es especialmente interesante estar familiarizado con los grupos "de orden pequeño".
También es importante tener presente la parte de teoría de anillos dada en la asignatura Estructuras algebraicas, especialmente todas las cuestiones relacionadas con la irreductibilidad de polinomios, y la construcción de cuerpos como cocientes del anillo de polinomios.
Objetivos y contextualización
El objetivo de esta asignatura es presentar el rudimentos de la Teoría de Galois y su aplicación a problemas sobre la resolubilidad de ecuaciones por radicales. Este problema, uno de los más antiguos de la historia de las matemáticas, tiene sus raíces en la antigüedad en tiempo de los babilonios y culmina brillantemente con la obra de Évariste Galois quien desarrolló la teoría para caracterizar las ecuaciones resolubles por radicales .
La presentación moderna de la teoría de Galois representa una parte central del Álgebra ya que los métodos de abstracción que se utilizan nos muestran la potencia de varias herramientas algebraicas introducidas anteriormente. Así pues, la traducción del problema a la teoría de cuerpos y posteriormente a la teoría de grupos nos cuenta como ramas abstractas y teóricas pueden resolver un problema clásico y más aplicado.
En este curso comenzaremos por introducir el problema de resolubilidad de ecuaciones por radicales en el contexto histórico. Posteriormente la teoría de cuerpos nos proporcionará el marco formal adecuado donde plantear el problema y presentar de manera clara la teoría de Galois de ecuaciones.
Una de las herramientas fundamentales en la Teoría de Galois es la teoría de grupos. Su mejor conocimiento permite trabajar más ejemplos y obtener mejores resultados. No obstante, por motivos de tiempo, introduciremos sólo los conceptos más básicos y recordaremos las propiedades necesarias durante el desarrollo del curso.
Competencias
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
- Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Demostrar una elevada capacidad de abstracción.
- Distinguir, ante un problema o situación, lo que es sustancial de lo que es puramente ocasional o circunstancial.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
Resultados de aprendizaje
- Calcular grupos de Galois de ecuaciones de grado bajo y deducir su resolubilidad por radicales.
- Construir grupos y anillos cociente y cuerpos finitos y operar en ellos.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Manipular expresiones que involucren elementos algebraicos y transcendentes.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Relacionar construcciones geométricas con extensiones algebraicas.
Contenido
1. Elementos básicos
Resolución de ecuaciones polinomiales: las fórmulas por radicales por los polinomios de grado pequeño.
Anillos, morfismos de anillos.
Cuerpo de fracciones de un dominio.
Subanillos y subcuerpos generados por elementos.
Característica de un cuerpo.
2. Extensiones de cuerpos.
Elementos algebraicos y elementos trascendentes.
El grado de una extensión de cuerpos. Fórmula de las Torres.
Extensiones algebraicas. Extensiones de Monomorfismo.
El grupo Gal (L / K).
Cuerpo de descomposición de un polinomio.
El caso de los cuerpos finitos.
3. Extensiones normales y extensiones separables.
Extensiones normales.
Derivada formal de un polinomio y polinomios con raíces múltiples.
Elementos separables y extensiones separables.
4. El Teorema fundamental de la teoría de Galois finita.
Extensiones de Galois.
El Teorema de Artin.
La correspondencia de Galois: El teorema Fundamental.
5. Teoría de Galois de ecuaciones.
Polinomios resolubles por radicales y grupos resolubles.
Extensiones ciclotómicas y cíclicas.
Teorema de Galois de resolubilidad por radicales.
Polinomios con grupo de Galois S_p, con p primo.
6. El teorema fundamental del Álgebra.
Metodología
La asignatura dispone de dos horas de clase de teoría y una de problemas durante 15 semanas del curso. También hay 3 sesiones de seminarios de dos horas que se realizarán durante 3 semanas del semestre. Se recomienda fuertemente la asistencia tanto a las clases de teoría, a las de problemas y los seminarios.
En las clases de teoría daremos las herramientas necesarias y más importantes para la comprensión y resolución de problemas.
En las clases de problemas se profundizará en la asimilación y mejor comprensión de los conceptos desarrollados en las clases teóricas mediante la resolución de problemas y ejercicios. Este trabajo se llevará a cabo mediante las explicaciones hechas por el profesor en la pizarra y la participación activa en la discusión de los diferentes argumentos empleados para solucionar los problemas.
Hay tres sesiones de seminario y, en general, estarán más enfocados al cálculo de ejemplos.
Esta asignatura también ofrecerá recursos mediante el Campus Virtual. En este iremos colgando los enunciados de las listas de problemas y otro material que pueda complementar las clases de teoría, problemas y seminarios.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clase de seminarios | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Clases de problemas | 15 | 0,6 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Clases de teoría | 30 | 1,2 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio de teoría | 27 | 1,08 | 1, 4, 5, 6, 8, 9 |
| Preparación de exámenes | 16 | 0,64 | 1, 4, 6, 8, 9 |
| Preparación de seminarios | 10 | 0,4 | 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9 |
| Realización de problemas | 40 | 1,6 | 1, 2, 4, 6, 8, 9 |
Evaluación
La evaluación de la asignatura se hará de la siguiente forma:
- Un 35% de la nota corresponderá a la realización de un examen parcial.
- Un 15% de la nota corresponderá a la evaluación de seminarios.
- Un 50% de la nota corresponderá a la realización de un examen final.
En el caso de evaluación única, habrá un examen final correspondiente al 100% de la nota final.
Habrá un examen de recuperación, que permitirá recuperar la nota del examen parcial y del final, en el caso que la media de l'asignatura, una vez hechos los exámenes, sea inferior a 5.
En el caso de que alguien se presente al examen de recuperación, se calculará la media ponderada entre la nota de l'examen y las notas de los seminarios; si esta nota es superior a 5, la nota de la asignatura será 5. Si es inferior a 5, será el máximo entre la media de la nota antes y después de la recuperación.
En el caso d'evaluación única, la nota de la recuperación será de 5 si la nota del examen es igual o superior a 5, o el máximo entre el examen final y la recuperación si es inferior a 5.
Calificación de No Evaluable se obtiene cuando alguien no se presenta al examen final ni al examen de recuperación.
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Examen | 50% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 |
| Prueba intersemestral | 35% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 |
| Seminarios | 15% | 1 | 0,04 | 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Bibliografía
F.Bars, Teoria de Galois en 30 hores, http://mat.uab.cat/~francesc/docencia2.html
David A. Cox, Galois Theory. Hoboken : Wiley-Interscience, cop. 2004 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=0471434191/summary.html&client=autbaru&type=rn12
D. S. Dummit, M. R. Foote, Abstract Algebra, Wiley, 2004.
D.J.H. Garling. A course in Galois Theory. Cambridge Univ. Press, 1986.
J. Milne. Fields and Galois Theory, http://www.jmilne.org/math/
P. Morandi. Fields and Galois Theory. GTM 167, Springer.
S. Roman. Field Theory. GTM 158, Springer.
Ian Steward "Galois Theory" Chapman & Hall / CRC, 2004 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=1584883936/summary.html&client=autbaru&type=rn12
Bibliografia complementaria:
Michael Artin, "Algebra" Prentice Hall, cop. 2011 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=9780132413770/summary.html&client=autbaru&type=rn12
T. Hungerford, "Algebra" New York : Springer-Verlag, cop. 1974 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=0387905189/summary.html&client=autbaru&type=rn12
Jean-Perre Tignol, "Galois' Theory of Algebraic Equations". World Scientific 2001
A. M. de Viola Priori, J.E. Viola-Priori. Teoría de cuerpos y Teoría de Galois. Reverté (2006).
Una versión novelada de la vida de Galois:
Josep Pla i Carrera. Damunt les espatlles de gegants. 1ra Edició: Editorial la Magrana. 2na Edició: Edicions FME http://www.fme.upc.edu/ca/arxius/damunt-les-espatlles-dels-gegants_jpla
Algunos sitios web de interés:
http://www.galois-group.net
http://godel.ph.utexas.edu/~tonyr/galois.html
htpp://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Galois.html
Curiosidades origami: Robert J. Lang: http://www.langorigami.com
TomHull: http://www.merrimack.edu/thull/~omfiles/geoconst.html
Koshiro Hatori: http://origami.ousaan.com/library/conste.html
http://www.langorigami.com/science/mathlinks/mathlinks.php4.
Software
Se podrá usar SageMath puntualmente.