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2022/2023

Análisis Complejo y de Fourier

Código: 104400 Créditos ECTS: 6
Titulación Tipo Curso Semestre
2503740 Matemática Computacional y Analítica de Datos OB 2 2

Contacto

Nombre:
Eduardo Gallego Gómez
Correo electrónico:
eduardo.gallego@uab.cat

Uso de idiomas

Lengua vehicular mayoritaria:
catalán (cat)
Algún grupo íntegramente en inglés:
No
Algún grupo íntegramente en catalán:
Algún grupo íntegramente en español:
No

Prerequisitos

Álgebra y Cálculo diferencial e integral elementales.

Objetivos y contextualización

  • Conocer y saber utilizar los conceptos y resultados fundamentales del Análisis Complejo.
  • Conocer y saber utilizar los conceptos básicos de las series de Fourier y de la transformada de Fourier.
  • Aplicar los resultados del área en diversas situaciones: circuitos, teoría de fluidos, tratamiento de señales, resolución de ecuaciones diferenciales etc.

Competencias

  • Calcular y reproducir determinadas rutinas y procesos matemáticos con agilidad.
  • Demostrar una elevada capacidad de abstracción y de traducción de fenómenos y comportamientos a formulaciones matemáticas.
  • Formular hipótesis e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
  • Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  • Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
  • Relacionar objetos matemáticos nuevos con otros conocidos y deducir sus propiedades.
  • Trabajar cooperativamente en un contexto multidisciplinar asumiendo y respetando el rol de los diferentes miembros del equipo.
  • Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.

Resultados de aprendizaje

  1. Calcular coeficientes de Fourier de funciones periódicas y sus posibles aplicaciones inmediatas al cálculo de sumas de series.
  2. Conocer la relación entre convergencia uniforme y la continuidad, la derivabilidad o la integrabilidad de funciones de una variable.
  3. Conocer las transformadas de Fourier y de Laplace de funciones elementales y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales.
  4. Conocer los resultados básicos y las propiedades fundamentales de las funciones holomorfas y la teoría de Cauchy.
  5. Contrastar, si es posible, el uso del cálculo con el uso de la abstracción para resolver un problema.
  6. Desarrollar estrategias autónomas para la resolución de problemas propios del curso, discriminar los problemas rutinarios de los no rutinarios y diseñar y evaluar una estrategia para resolver un problema.
  7. Evaluar las ventajas e inconvenientes del uso del cálculo y de la abstracción.
  8. Explicar ideas y conceptos matemáticos propios del curso, así como comunicar a terceros razonamientos propios.
  9. Leer y comprender un texto de matemáticas del nivel del curso.
  10. Manejar el cálculo de residuos y sus aplicaciones.
  11. Manejar transformaciones homográficas y la representación conforme.
  12. Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  13. Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
  14. Trabajar cooperativamente en un contexto multidisciplinar asumiendo y respetando el rol de los diferentes miembros del equipo.
  15. Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.

Contenido

  1. Números complejos. Funciones analíticas. Series de potencias.
  2. Teoría local de Cauchy.
  3. Residuos.
  4. Series de Fourier.
  5. Funciones armónicas y transformada de Fourier.
  6. Aplicaciones.

Metodología

Habrá cuatro horas de clase semanales del que dos servirán para introducir los conceptos básicos del curso. Las otras dos se utilizarán para resolver problemas y aplicar la teoría en diferentes situaciones.

Es importante que el alumno trabaje individualmente las listas de ejercicios que se proporcionarán: leer, pensar y resolver. De esta manera las clases en grupo se podrán aprovechar de manera óptima.

Durante las clases prácticas se utilizarán herramientas informáticas para visualizar resultados y hacer los cálculos necesarios.

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.

Actividades

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Tipo: Dirigidas      
Clases de problemes 12 0,48 7, 1, 5, 4, 3, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15
Clases de teoria 30 1,2 1, 4, 3, 8, 9, 10, 11
Clases prácticas 11 0,44 7, 1, 5, 4, 3, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Tipo: Autónomas      
Ejercicios y problemas 58 2,32 7, 1, 5, 4, 3, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Estudio de teoria 30 1,2 7, 1, 5, 4, 3, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15

Evaluación

Al principio de curso se anunciarán las fechas de cada prueba o entrega de la evaluación. Habrá recuperación de los exámenes parciales. Habrá entregas individuales de problemas.

Actividades de evaluación

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Entrega de ejercicios 20% 1,8 0,07 7, 1, 5, 4, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Primer parcial 40% 3,6 0,14 7, 5, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 15
Segundo parcial 40% 3,6 0,14 7, 1, 5, 3, 6, 8, 9, 15

Bibliografía

  • Ahlfors, L. Complex Analysis (Third Edit.). McGraw-Hill, 1979.
  • Bruna, J., & Cufí, J. Complex AnalysisEMS (Vol. 6), 2010.
  • Cohen, H. Complex analysis with applications in science and engineering. New York: Springer, 2007.
  • Volkovyski, Lunts, Aramanovich. Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja. MIR, 1977
  • Churchill, R. V, & Brown, J. W. Complex Variables and Applications, 2009.
  • R. M. Gray and J. W. Goodman. Fourier Transforms, Kluwer, 1995
  • R. N. Bracewell. The Fourier Transform and its Applications, McGraw Hill, 1986

 

Software

  • Sagemath: https://www.sagemath.org
  • Maxima: https://maxima.sourceforge.io
  • WxMaxima: https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/index.html