Logo UAB
2022/2023

Càlcul en Una Variable

Codi: 104382 Crèdits: 6
Titulació Tipus Curs Semestre
2503740 Matemàtica Computacional i Analítica de Dades FB 1 1

Professor/a de contacte

Nom:
Joan Orobitg Huguet
Correu electrònic:
joan.orobitg@uab.cat

Utilització d'idiomes a l'assignatura

Llengua vehicular majoritària:
català (cat)
Grup íntegre en anglès:
No
Grup íntegre en català:
Grup íntegre en espanyol:
No

Equip docent

Ignasi Guillén Mola

Prerequisits

Encara que no hi ha prerequisits oficials és recomanable que els estudiants tinguin consolidats els coneixements pròpis del Càlcul que s'imparteixen a Batxillerat: límíts, continuïtat i derivabilitat de funcions reals d'una variable real, nocions de càlcul integral i de trigonometria. Així com la representació gràfica de funcions relativament senzilles d'una variable. El requisit més important és, però, una gran curiositat per entendre i aprofundir en els conceptes que s'estudiaran durant el curs.

Objectius

Resoldre els problemes matemàtics que es poden plantejar en Matemàtica Computacional i analítica de dades.
 
Entendre el concepte de successions i el càlcul de límits.
 
Conèixer i treballar de manera intuïtiva, geomètrica i formal les nocions de límit, continuïtat, derivada i integral.
 
Entendre i saber fer desenvolupaments de Taylor de funcions d'una variable real.
 
Adquirir nocions bàsiques de sèries numèriques i de potències.
 
Conèixer la construcció de la integral, el càlcul d'integrals i la seva aplicació a la resolució de problemes on sigui necessari el plantejament d'integrals. Integrals impròpies.

 

 

 

 

Competències

  • Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com d'altres.
  • Avaluar de manera crítica i amb criteris qualitat el treball realitzat.
  • Calcular i reproduir determinades rutines i processos matemàtics amb agilitat.
  • Demostrar una elevada capacitat d'abstracció i de traducció de fenòmens i comportaments a formulacions matemàtiques.
  • Formular hipòtesis i imaginar estratègies per confirmar-les o refutar-les.
  • Que els estudiants hagin demostrat que comprenen i tenen coneixements en una àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es basa en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda d'aquell camp d'estudi.
  • Que els estudiants puguin transmetre informació, idees, problemes i solucions a un públic tant especialitzat com no especialitzat.
  • Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes destacats d'índole social, científica o ètica.
  • Relacionar objectes matemàtics nous amb altres de coneguts i deduir-ne les propietats.
  • Treballar cooperativament en un context multidisciplinar asumiendo y respetando el rol de los diferentes miembros del equipo.
  • Utilitzar aplicacions informàtiques d'anàlisi estadística, càlcul numèric i simbòlic, visualització gràfica, optimització o altres per experimentar i resoldre problemes.
  • Utilitzar eficaçment la bibliografia i els recursos electrònics per obtenir informació.

Resultats d'aprenentatge

  1. Analitzar i dibuixar funcions, i deduir propietats d'una funció a partir de la seva gràfica.
  2. Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com d'altres.
  3. Avaluar de manera crítica i amb criteris de qualitat el treball desenvolupat.
  4. Avaluar els avantatges i els inconvenients de l'ús del càlcul i de l'abstracció.
  5. Calcular derivades de funcions mitjançant la regla de la cadena, el teorema de la funció implícita, etc.
  6. Calcular i estudiar extrems de funcions.
  7. Calcular integrals de funcions d'una variable.
  8. Classificar matrius i aplicacions lineals segons diversos criteris (rang, formes diagonal i de Jordan).
  9. Comprendre i treballar intuïtivament, geomètricament i formalment amb les nocions de límit, derivada i integral.
  10. Contrastar, si és possible, l'ús del càlcul amb l'ús de l'abstracció per resoldre un problema.
  11. Descriure els conceptes i els objectes matemàtics propis de l'assignatura.
  12. Desenvolupar estratègies autònomes per a la resolució de problemes propis del curs, discriminar els problemes rutinaris dels no-rutinaris i dissenyar i avaluar una estratègia per resoldre un problema.
  13. Distingir els objectes propis del càlcul amb funcions d'una variable real i de les seves propietats i utilitats.
  14. Explicar idees i conceptes matemàtics propis del curs, així com comunicar a tercers raonaments propis.
  15. Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bàsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats.
  16. Llegir i comprendre un text de matemàtiques del nivell del curs.
  17. Que els estudiants hagin demostrat que comprenen i tenen coneixements en una àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es basa en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda d'aquell camp d'estudi.
  18. Que els estudiants puguin transmetre informació, idees, problemes i solucions a un públic tant especialitzat com no especialitzat.
  19. Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes destacats d'índole social, científica o ètica.
  20. Redactar, de manera ordenada i amb precisió, petits textos matemàtics (exercicis, resolució de qüestions de teoria, etc.).
  21. Relacionar els conceptes del càlcul d'una variable real amb els mètodes i els objectes d'altres àmbits.
  22. Resoldre problemes que impliquin el plantejament d'integrals (longituds, àrees, volums, etc.).
  23. Treballar cooperativament en un context multidisciplinari assumint i respectant el rol dels diferents membres de l'equip.
  24. Utilitzar eficaçment la bibliografia i els recursos electrònics per obtenir informació.

Continguts

1. Successions de nombres reals.

  • Límit d'una successió i propietats algebraiques.
  • Successions monòtones.
  • Punts d'acumulació. Successions parcials.
  • Teorema de Bolzano-Weierstrass.
  • Successions de Cauchy.
  • Càlcul de límits.

2. Funcions reals.

  • Domini d'una funció.
  • Funcions elementals.
  • Límit d'una funció en un punt. Límits laterals. Propietats dels límits. Asímptotes. Càlcul de límits de funcions.
  • Continuïtat d'una funció.
  • Teorema de Bolzano.
  • Teorema del valor mitjà i Teorema de Weierstrass.

3.Derivació.

  • Derivada d'una funció en un punt.
  • Càlcul d'algunes derivades.
  • Recta tangent.
  • Regla de la Cadena. Derivada de la funció inversa. Derivació logarítmica.
  • Extrems absoluts i relatius d'una funció.
  • Teorema de Rolle. Teorema del valor mitjà.
  • Regla de l'Hôpital.
  • Infinitèsim. Càlcul de límits amb infinitèsims.
  • Mètode de Newton per la resolució numèrica de funcions.

4. Aproximació per polinomis de Taylor.

  • Ordre de contacte entre funcions.
  • Polinomi de Taylor. Propietats.
  • Fórmula de Taylor. Residu de Taylor.
  • Càlculs aproximats. Aplicació al càlcul de límits.
  • Estudi local de funcions.

5. Integració.

  • Primitives d'una funció.
  • Integrals immediates. Integrals per canvi de variable. Integrals per parts.
  • Integració de funcions racionals. Integració de funcions irracionals.
  • Teorema fonamental del càlcul.
  • Aplicacions de la integració: càlcul d'àrees planes, càlcul de la longitud d'una corba, càlcul d'àrees i volums de revolució.
  • Integrals impròpies. Criteris de convergència. Convergència absoluta.

6. Sèries numèriques i de potències.

  • Sèries numèriques. Condició necessària de convergència.
  • Criteris de : comparació, quocient, arrel, integral.
  • Sèries alternades. Convergència absoluta.
  • Sèries de potències.
  • Radi de convergència.
  • Derivació i integració de sèries de potències.

 

 

 

Metodologia

Les classes de teoria i problemes  no són distingibles, de manera que anirem alternant-les segons necessitats del temari i dels estudiants. En principi, el professor de teoria donarà les idees principals sobre els diversos temes. L'alumne haurà de resoldre els problemes proposats.
Els professors de problemes i de pràctiques resoldran els dubtes que se'ls plantegin i proposaran mètodes de resolució tant mitjançant ordinadors com analítics. Al llarg del semestre l'alumne haurà de resoldre i entregar problemes. Aquests lliuraments formaran part de l'avaluació continuada de l'assignatura.

 

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè l'alumnat empleni les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.

Activitats formatives

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Tipus: Dirigides      
Classes de problemes i de pràctiques 23 0,92 1, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 24
Classes teòriques 30 1,2 1, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 17, 18, 19
Tipus: Supervisades      
Tutories i consultes alumne-professor 16 0,64 2, 3, 14, 16, 20, 22, 23, 24
Tipus: Autònomes      
Preparació pels exàmens 15 0,6 11, 14, 17, 18
Treball personal 60 2,4 1, 5, 6, 11, 14, 16, 18, 20

Avaluació

Hi haurà una prova/entrega avaluable de la part pràctica del curs, amb ordinador, que valdrà el 20% de la nota final. Aquesta part de la nota no serà recuperable.

La entrega d'exercicis resolts, a mesura que el professor ho vaig indicant, complementa (10%) l'avaluació de curs. Aquesta part tampoc serà recuperable.

Hi haurà un examen (Primer Parcial = P_1) a mig semestre en el qual s'avaluarà la feina feta fins a aquell moment. La nota d'aquest examen aportarà el 35% de la qualificació final. Tots els estudiants que facin aquest examen ja no podran ser qualificats com a NO AVALUABLE. Aquell estudiant que no hagi fet aquest examen constarà com a NO AVALUABLE a efectes acadèmics i no tindrà dret a recuperar-lo (excepte per causa degudament justificada, cas en que es permetrà fer l'examen de recuperació). 

Al final del semestre hi haurà un segon examen parcial (que en diem P_2) en el qual s'avaluaran el coneixements dels temes que no s’hagin avaluat al primer parcial. La nota d'aquest examen aportarà un altre 35% de la qualificació final. Aquell estudiant que no hagi fet aquest examen no tindrà dret a recuperar-lo (excepte per causa degudament justificada, cas en que es permetrà fer l'examen de recuperació).

Si la mitjana de les notes (sobre 10) dels dos parcials (P_1+P_2)/2 és inferior a 3,5 l'alumne ha d'anar a l'examen de recuperació, que és un examen global de tota l'assignatura. Si la mitjana M=(P_1+P_2)/2 és superior o igual a 3,5, llavors la nota final és NF=0,7 M+ 0,2 P + 0,1 Ll, on P és la part pràctica del curs (sobre 10) i Ll és la nota dels lliuraments (sobre 10). Si NF és superior a 5 l'alumne ha aprovat i té NF com a nota final. Si no és així, l'alumne ha d'anar a l'examende recuperació i en aquest cas la nota final serà 0,7 R + 0,2 S + 0,1 Ll, on R és la nota de l'examen de recuperació (sobre 10).

Podrà obtenir la qualificació de Matrícula d'Honor el 5% de l’alumnat. Necessàriament caldrà que tinguin una nota igual o superior a 9. La decisió final sobre la qualificació de MH la prendrà el professorat. 

En els exàmens parcials i en el de recuperació no es permetrà utilitzar calculadora. 

Per a cada activitat d'avaluació, s'indicarà un lloc, data i hora de revisió en la que l'estudiant podrà revisar l'activitat amb el professorat. En aquest context, es podran fer reclamacions sobre la nota de l'activitat, que seran avaluades pel professorat responsable de l'assignatura. Si l'estudiant no es presenta a aquesta revisió, no es revisarà posteriorment aquesta activitat. Les dates de les entregues de problemes i dels exàmens parcials es publicaran al Campus Virtual (CV) i poden estar subjectes a possibles canvis de programació per motius d'adaptació a possibles incidències; sempre s'informarà al CV sobre aquests canvis ja que s'entén que el CV és el mecanisme habitual d'intercanvi d'informació entre professor i estudiants.

Sense perjudici d'altres mesures disciplinàries que es considerin oportunes i d'acord amb la normativa acadèmica vigent, les irregularitats comeses per un estudiant que puguin conduir a una variació de la qualificació es qualificaran amb un zero (0). Per exemple, plagiar, copiar, deixar copiar, tenir dispositius de comunicació (com telèfons mòbils, smart watches, etc.) en una activitat d'avaluació, implicarà suspendre aquesta activitat d'avaluació amb un zero (0). Les activitats d'avaluació qualificades d'aquesta forma i per aquest procediment no seran recuperables. Si és necessari superar qualsevol d'aquestes activitats d'avaluació per aprovar l'assignatura, aquesta assignatura quedarà suspesa directament, sense oportunitat de recuperar-la en el mateix curs. La nota numèrica de l'expedient serà el valor menor entre 3.0 i la mitjana ponderada de les notes en cas que l'estudiant hagi comès irregularitats en un acte d'avaluació (i per tant no serà possible l'aprovat per compensació). 

 

Activitats d'avaluació

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Examen parcial 1 35% 2 0,08 1, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 21
Examen parcial 2 35% 2 0,08 2, 3, 4, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 23, 24
Lliurament d'exercicis 10% 1 0,04 14, 16, 19, 20
Lliurament/Prova de pràctiques 20% 1 0,04 14, 16, 17, 18

Bibliografia

1.S.L. Salas, E. Hille. 'Calculus' Vol. 1, Ed. Reverté, 2002.

2.Bartle, R.G., Shebert, D.R. (1996) Introducción al Análisis Matemático de una variable. 2a ed. Limusa. ISBN: 978-968-18-5191-0.

3.Ortega Aramburu, J.M. (2002). Introducció a l’Anàlisi Matemàtica. 2a ed. Manuals de la Universitat Autònoma de Barcelona.

Programari

Les pràctiques d'ordinador d'aquesta assignatura es faran amb SageMath.