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2022/2023

Matemáticas II

Código: 102344 Créditos ECTS: 6
Titulación Tipo Curso Semestre
2501572 Administración y Dirección de Empresas FB 1 2
2501573 Economía FB 1 2

Contacto

Nombre:
Michael David Creel
Correo electrónico:
michael.creel@uab.cat

Uso de idiomas

Lengua vehicular mayoritaria:
catalán (cat)
Algún grupo íntegramente en inglés:
Sí
Algún grupo íntegramente en catalán:
Sí
Algún grupo íntegramente en español:
Sí

Prerequisitos

Para poder efectuar un buen seguimiento de esta asignatura hace falta saber manipular los conceptos y herramientas matemáticas básicas, así como haber adquirido previamente las nociones fundamentales de continuidad, derivada y análisis y representación gráfica de funciones reales de una variable real que se presentan y trabajan en el curso de Matemáticas I. 

Objetivos y contextualización

En esta asignatura se introduce al alumno en el estudio del álgebra lineal y de las funciones con diferentes variables, poniendo énfasis en sus aplicaciones en el entorno de la economía. El alumno debería no solo adquirir y asimilar nuevos conocimientos matemáticos, sino también ser capaz de aplicarlos en el análisis cuantitativo que requerirá tanto dentro del análisis económico como en otras materias del ámbito empresarial.

Por tanto, el objetivo de la asignatura es que el alumno se familiarice con las nociones matemáticas básicas que después utilizará en el estudio de la teoría y análisis económico.

En concreto, los objetivos que se pretenden alcanzar son:

  1. Familiarizar al estudiante con el espacio euclidiano n-dimensional

  2. Trabajar con determinantes y matrices

  3. Resolver sistemas de ecuaciones lineales

  4. Entender las funciones de diferentes variables y su papel en modelos económicos más complejos

  5. Representar geométricamente funciones de dos variables usando los mapas de curvas de nivel.

  6. Entender la noción de límite de una función en un punto y de función continua.

  7. Entender el Teorema de Weiertrass

  8. Familiarizar al estudiante con las derivadas parciales de las funciones con diferentes variables y con el concepto de diferenciabilidad.

  9. Utilizar las derivadas parciales para la obtención del pendiente de la curva de nivel en un punto y para realizar ejercicios de estadística comparativa.

  10. Resolver problemas de optimización sin restricciones y con restricciones de igualdad. 

Competencias

    Administración y Dirección de Empresas
  • Aplicar los instrumentos matemáticos para sintetizar situaciones económico-empresariales complejas.
  • Capacidad de comunicación oral y escrita en catalán, castellano e inglés, que permita sintetizar y presentar oralmente y por escrito el trabajo realizado.
  • Demostrar que comprende el lenguaje matemático y algunos métodos de demostración.
  • Organizar el trabajo, en cuanto a una buena gestión del tiempo, ordenación y planificación del mismo.
  • Utilizar las tecnologías de la información disponibles y adaptarse a los nuevos entornos tecnológicos.
    Economía
  • Aplicar los instrumentos matemáticos para sintetizar situaciones económico -empresariales complejas.
  • Capacidad de seguir aprendiendo en el futuro de forma autónoma, profundizando los conocimientos adquiridos o iniciándose en nuevas áreas de conocimiento.
  • Demostrar que comprende el lenguaje matemático y algunos métodos de demostración.
  • Iniciativa y capacidad de trabajar autónomamente cuando la situación lo requiera.
  • Organizar el trabajo, en cuanto a una buena gestión del tiempo, ordenación y planificación del mismo.
  • Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  • Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
  • Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
  • Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
  • Seleccionar y generar la información necesaria para cada problema, analizarla, y tomar decisiones en base a la misma.
  • Utilizar las tecnologías de la información disponibles y adaptarse a los nuevos entornos tecnológicos

Resultados de aprendizaje

  1. Aplicar los teoremas de la función inversa y de la función implícita a problemas concretos.
  2. Calcular derivadas de funciones mediante la regla de la cadena, el teorema de la función implícita, etc.
  3. Calcular determinantes y descomposiciones de matrices.
  4. Calcular y estudiar extremos de funciones.
  5. Capacidad de comunicación oral y escrita en catalán, castellano e inglés, que permita sintetizar y presentar oralmente y por escrito el trabajo realizado.
  6. Capacidad de seguir aprendiendo en el futuro de manera autónoma, profundizando en los conocimientos adquiridos o iniciándose en nuevas áreas de conocimiento.
  7. Clasificar matrices y aplicaciones lineales según diversos criterios (rango, formas diagonal y de Jordan).
  8. Conocer los resultados básicos del cálculo diferencial en diversas variables reales.
  9. Iniciativa y capacidad de trabajar de forma autónoma cuando la situación lo requiera.
  10. Organizar el trabajo, con relación a una buena gestión del tiempo y a su ordenación y planificación.
  11. Organizar el trabajo, con respecto a una buena gestión del tiempo y a su ordenación y planificación.
  12. Plantear y resolver analíticamente problemas de optimización en el ámbito de la economía.
  13. Plantear y resolver de forma analítica problemas de optimización en el ámbito de la economía.
  14. Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  15. Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
  16. Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
  17. Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
  18. Resolver y discutir sistemas de ecuaciones lineales.
  19. Trabajar con diferentes bases de espacios vectoriales de dimensión finita.
  20. Utilizar las tecnologías de la información disponibles y adaptarse a los nuevos entornos tecnológicos.

Contenido

PARTE I. ÁLGEBRA LINEAL

Tema 1. ÁLGEBRA DE VECTORES Y MATRICES

1.1. Sistemas de ecuaciones lineales

1.2 Operaciones con matrices y vectores

1.2. Dependencia e independencia lineal de vectores

1.3. Propiedades de las operaciones básicas y las interpretaciones geométricas

1.4. Norma y distancia euclidiana

1.5. Conjuntos, líneas y planos

Tema 2. CALCULO MATRICIAL

2.1. Matrices, determinantes, matrices inversas y rango

2.2. Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices

PARTE II. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Tema 3. ESTUDIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3.1. Características de las funciones de varias variables

3.2. Representación geométrica

3.3. Superficies y distancias

3.4. Curvas de nivel

Tema 4. DERIVADAS PARCIALES Y FUNCIONES DIFERENCIABLES

4.1. Derivada de una función en un punto en la dirección de un vector unitario

4.2. Derivadas parciales

4.3. Gradiente de la función en un punto. Interpretación geométrica y derivadas direccionales

4.4. Funciones diferenciables. Continuidad de las funciones derivadas parciales

4.5. Regla de la cadena

4.6 Derivadas parciales de combinaciones lineales y de formas cuadráticas

4.7 Aproximaciones de Taylor de primero y segundo orden

Tema 5. TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA Y TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA

5.1. Teorema de la función implícita

5.2. Teorema de la función inversa

5.3. Aplicaciones y intuiciones geométricas

PARTE III. OPTIMIZACIÓN CON VARIAS VARIABLES

Tema 6. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES

6.1. Óptimos locales y globales

6.2. Condiciones de primer y segundo orden para los óptimos locales

6.3. Óptimos globales de funciones cóncavas y convexas

 Tema 7. OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

7.1. Programas de maximización y minimización con restricciones de igualdad

7.2. Óptimos restringidos locales. Teorema de Lagrange

7.3. Óptimos restringidos globales de funciones cóncavasyconvexas

7.4 Teorema de Weierstrass

7.5. Introducción a las restricciones de desigualdad

Metodología

1. Clases teóricas donde los profesores desarrollarán los principales conceptos.

El objetivo de esta actividad es presentar las nociones fundamentales y facilitar el aprendizaje del alumno poniendo énfasis en las aplicaciones económicas de las matemáticas aprendidas.

2. Docencia tutelada donde los profesores aplicarán los conceptos estudiados en familias concretas de funciones de diferentes variables.

El objetivo de esta actividad es potenciar la independencia del alumno en el proceso de aprendizaje aplicando los conceptos teóricos a familias de funciones de diferentes variables.

3. Resolución de listas de problemas por parte de los alumnos.

Cada tema tendrá asociado una lista de problemas que deberá ser resuelta de manera autónoma. El objetivo de esta actividad es doble, ya que por un lado pretende que el alumno asimile los conceptos teóricos expuestos en clase y por otro lado que adquiera la destreza necesaria para resolver problemas.

Se potenciará la resolución cooperativa de problemas, en el marco de grupos de trabajo de 3 o 4 estudiantes, que sean estables durante todo el semestre y que colaboren en el trabajo en equipo para superar las dificultades que puedan tener alguno de sus componentes.

4. Clases de problemas donde se discutirá la resolución de problemas.

Esta actividad tiene como finalidad comentar y resolver las dudas que los alumnos hayan podido tener durante la resolución de los problemas con tal que estos puedan entender y al mismo tiempo corregir los posibles errores cometidos.

5. Tutorías presenciales

El alumno dispondrá de unas horas en las que los profesores de la asignatura podrán resolver las dudas de manera presencial.

 

La metodología docente propuesta puede experimentar alguna modificación en función de las restricciones a la presencialidad que impongan las autoridades sanitarias.

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.

Actividades

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Tipo: Dirigidas      
Clases de teoría 32,5 1,3 1, 2, 3, 4, 7, 8, 13, 12, 18, 19
Preparación y solución de ejercicios 17 0,68 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 18, 19, 20
Tipo: Supervisadas      
Seguimiento del trabajo a realizar 3 0,12 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 18, 19, 20
Tutorías 7 0,28 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 18, 19, 20
Tipo: Autónomas      
Estudio 45 1,8 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 18, 19, 20
Preparación y solución de ejercicios 40 1,6

Evaluación

La evaluación de la asignatura se llevará a cabo de forma continuada, mediante evaluaciones parciales y un examen final. La tipología de actividades y su peso en la nota final es el siguiente:

-          Examen final: 50% de la nota final

-          Examen parcial: 30% de la nota final

-          Actividades a entregar y de avaluación continuada: 20% de la nota final

Ninguna de las actividades de evaluación elimina materia para el examen final.

La nota final será la media ponderada de las actividades. No se establece ninguna política de nota mínima para ninguna actividad.

Examen final:

Incluye toda la materia del curso. El examen está diseñado para que el estudiante se vea forzado a realizar un último esfuerzo de aprendizaje que es necesario para consolidar los conocimientos previamente adquiridos. El tiempo de resolución máximo será de 2 horas.

Si aplicando los pesos mencionados anteriormente la calificación del alumno es 5 o superior, se considera superada la asignatura y ésta no podrá ser objeto de una nueva evaluación.

Un alumno se considera que está "No Evaluado" en la asignatura siempre y cuando no haya participado de ninguna de las actividades de evaluación. Por tanto, se considera que un estudiante que realiza alguna componente de evaluación continuada ya no puede optar a un "No Evaluado".

 

Calendario de actividades de evaluación

Las fechas de las diferentes pruebas de evaluación (exámenes parciales, ejercicios en aula, entrega de trabajos, ...) se anunciarán con suficiente antelación durante el semestre.

La fecha del examen final de la asignatura está programada en el calendario de exámenes de la Facultad.

"La programación de las pruebas de evaluación no se podrá modificar, salvo que haya un motivo excepcional y debidamente justificado por el cual no se pueda realizar un acto de evaluación. En este caso, las personas responsables de las titulaciones, previa consulta al profesorado y al estudiantado afectado, propondrán una nueva programación dentro del período lectivo correspondiente."  Apartado 1 del Artículo 115. Calendario de las actividades de evaluación (Normativa Académica UAB)  

Los y las estudiantes de la Facultad de Economía y Empresa que de  acuerdo con el párrafo anterior necesiten cambiar una fecha de evaluación han de presentar la petición rellenando el documento Solicitud reprogramación prueba https://eformularis.uab.cat/group/deganat_feie/nou-reprogramacio-de-proves

 

Procedimiento de revisión de las calificaciones

Coincidiendo con el examen final se anunciará el día y el medio en que es publicarán las calificaciones finales. De la misma manera se informará del procedimiento, lugar, fecha y hora de la revisión de exámenes de acuerdo con la normativa de la Universidad.

 

Proceso de Recuperación

“Para participar en el proceso de recuperación el alumnado debe haber sido previamente evaluado en un conjunto de actividades que represente un mínimo de dos terceras partes de la calificación total de la asignatura o módulo.” Apartado 3 del Artículo 112 ter. La recuperación (Normativa Académica UAB). Los y las estudiantes deben haber obtenido una calificación media de la asignatura entre 3,5 y 4,9.

La fecha de esta prueba estará programada en el calendario de exámenes de la Facultad. El estudiante que se presente y la supere aprobará la asignatura con una nota de 5. En caso contrario mantendrá la misma nota.

 

Irregularidades en actosde evaluación  

Sin perjuicio de otras medidas disciplinarias que se estimen oportunas, y de acuerdo con la normativa académica vigente, "en caso que el estudiante realice cualquier irregularidad que pueda conducir a una variación significativa de la calificación de un acto de evaluación, se calificará con un 0 este acto de evaluación, con independencia del proceso disciplinario que se pueda instruir. En caso que se produzcan diversas irregularidades en los actos de evaluación de una misma asignatura, la calificación final de esta asignatura será 0".  Apartado 10 del Artículo 116. Resultados de la evaluación. (Normativa Académica UAB)

 

La evaluación propuesta puede experimentar alguna modificación en función de las restricciones a la presencialidad que impongan las autoridades sanitarias.

Actividades de evaluación

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Actividades a entregar y de avaluaci?n continuada 20% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Examen final 50% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 7, 8, 13, 12, 18, 19
Examen parcial 30% 1,5 0,06 1, 2, 3, 4, 7, 8, 13, 12, 18, 19

Bibliografía

Bibliografía básica

Sydsaeter, K., P.J. Hammond, i A. Carvajal, 2012, Matemáticas para el Análisis Económico. Ed. Prentice Hall, Madrid.

Este es un manual de referencia de gran aceptación y tradición y que gracias a sus renovadas ediciones ha conseguido ser un referente. Además, cubre el temario de la asignatura Matemáticas para Economistas I. Es un texto completo, asequible y dirigido a las aplicaciones económicas.

Los mismos autores tienen otro libre de nivel un poco más básico, solamentes en inglés. También es una buena opción como libro principal.

Sydsaeter, K. and P.J. Hammond, 2012, Essential Mathematics for Economic Analysis. Fourth edition. Pearson Education.

 

Bibliografía complementaria

Los manuales detalladosa continuación pueden ser de gran utilidad para el alumno, ya sea porqué desee complementar las explicaciones expuestas en el manual de referencia o porqué quiera ampliar sus conocimientos.

Alegre, P., L. Jorba, F.J. Orti, G. Rodriguez, J.B. Saez, T. Sancho i A. Terceño, 2000, Ejercicios Resueltos de Matemáticas Empresariales II. Editorial Alfacentauro, Madrid.

Besada, M., F.J. García, M.A. Mirás i M.C. Vázquez, 2001, Cálculo de varias variables. Cuestiones y ejercicios resueltos, Ed. Prentice Hall, Madrid.

Chiang, A.C., 2006, Métodos Fundamentales de Economía Matemàtica, Ed. McGraw-Hill, Madrid. Larson, R.i R. Hostetler i B. Edwards, 2006, Cálculo II de varias variables, Ed. Mc Graw Hill, Méjico.

 

En la web de la asignatura en el Campus Virtual se añadirá material complementario a criterio del profesorado de la misma. 

 

Software

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