Topología
Código: 100106 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OB | 3 | 1 |
Contacto
- Nombre:
- Wolfgang Pitsch
- Correo electrónico:
- wolfgang.pitsch@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- español (spa)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- No
- Algún grupo íntegramente en español:
- No
Equipo docente
- Jaume Aguade Bover
- Carlos Broto Blanco
- Roger Bergadà Batlles
Prerequisitos
La experiencia en la docencia de esta asignatura demuestra que es extraordinariamente importante que el alumno haya asimilado, antes de iniciar el curso, los fundamentos básicos de lo que es el razonamiento matemático deductivo.
Hay que tener experiencia en el método axiomático, hay que conocer los principios más básicos de la lógica matemática, conviene estar familiarizado con lo que es un razonamiento matemático correcto y lo que no lo es, con los diversos paradigmas de la demostración matemática (reducción al absurdo, aportación de un contraejemplo, paso al contrarecíproc, etc.). Hay que estar familiarizado en la negación de una proposición, en el uso de los cuantificadores ("existe un x tal que", "para todo x se cumple tal cosa") y en la idea de implicación (a implica b, a no implica b, a si y sólo si b).
Como buena parte de la asignatura se basa en reformular desde un punto de vista más general una serie de conceptos que se conocen en el contexto de los espacios métricos, es importante que el alumno tenga un buen dominio de la topología de los espacios métricos y, en particular, la topología del espacio euclidiano.
Objetivos y contextualización
El objetibo principal de ésta asignatura es que el alumno entienda que la estructura de espacio topológico es la correcta oara entender y manipular la idea básica de continuidad.
Agunos problemas, formulados inicialmente sobre objetos geométricos en realidad no dependen de la noción de distancia, de ángulos o de alineaciones sino de una manera de conexión xontínua que liga los puntos del objeto. Són los aspectos topológicos del objeto. La estructura de espacio topológico surgió de una manera análoga a la de espacio vectorial, para modelar las propiedades de subespacios de los espacios euclídeos, como las superficies por ejemplo. Rápidamente estas estructuras direon frutos en áreas muy alejadas (eometría algebraica, aritmética, etc.) y es hoy en día fundamental en casi todas las ramas de las matemáticas.
Estudiaremos conceptos que lso alumnos ya habán encontrado pero en un contexto más general. Hablaremos de abiertos y cerrados, de continuidad y de espacios compactos. Podrá paraecer a primera vista que ésta asignatura fuese una mera repetición algo gratuita de cosas ya sabidas; a pesar es de esperar que los alumnos se den cuanta que la generalización que expondremos es mucho mas flexible y útil que el punto de vista puramente métrico.
Competencias
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Demostrar una elevada capacidad de abstracción.
- Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
Resultados de aprendizaje
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Construir ejemplos de espacios topológicos usando las nociones de subespacio topológico, espacio producto y espacio cociente.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Reconocer topológicamente las superficies compactas y su clasificación.
- Utilizar los conceptos básicos asociados a las nociones de espacio métrico y espacio topológico: compacidad y conexión.
Contenido
- Propiedades topológicas de los esapcios métricos.
Bolas abiertas y cerrradas, continuidad, convergencia y completación. Topología de los espcios métricos normados. - Axiomática de espacio topológico.
Abiertos, cerrados, entornos adherencia. Continuidad. - Subespacios topológicos.
- La topologia producto.
- La topologia cociente.
- Espacios Haudorff. Axiomas de separabilidad.
- Espacios compactos.
- Conexión, conexión por caminos.
- Grupo fundamental.
- El teorema de clasificación de les superficies compactas.
Metodología
El número de horas dirigides descrites a continuació se pueden ver afectadas y modificadas por las medidas que las autoridades decreten para afrontar la situación de pandemia.
Hay 30 horas destinadas al desarrollo de los conceptos, ejemplos y resultados, 15 horas de trabajo de resolución de problemas y retos y finalmente 6 horas de seminarios para profundizar cuestiones paralelas o complementarias. Todo ésto representa 51 horas de trabajo en el aula. Las asignatuira requiere de parte del alumno 150 horas de trabajo, por lo que deben de ser conscientes que adquirir los conocimientos impartidos durante el curso requiere (al menos) unas 99 horas de trabajo personal, o sea unas 6 horas a la semana. Como ya lo sabrán por experiencia, en matemáticas ver al profesor hablar en la pizarra resolver problemas no es de mucha ayuda sin trabajo prevo, el conocimiento sólo se adquiere si uno ataca los problemas por si sólo y de manera crítica.
En ésta asignatura es sumamente importante dominar el razonamiento logico-deductivo, más allá aún de los conocimientos proios de la asignatura. Se dará pues suma importancia a la correcta utilización de
- La generación de razonamientos correctos.
- Le detección de razonamientos incorrectos.
- La capacidad de comunicar dichos razonamientos utilizando de manera rigurosa el lenguage matemático.
El paper de los seminarios se enfocará particularmente en trabajar estos objetivos.
Conviene insistir en que la mejor metodología de trabajo se basa en trabjar cada día, sin eso las clases se tornarán incomprensibles y por lo tánto aburridas, pues ya saben que en matemáticas los conocimientos se disponen por capas los unos encima de los otros de manera piramidal. El estudio autónomo e individual siempre debe acompàñarse del ejercicio que consiste en escribir matemáticas. Es imprescindible saber exponer los razonamientos por escrito sobre una hoja de papel y de manera lineal y semánticamente correcta.
El medi der comunicación privilegiado entre el profesorado y el alumnado será el Cámpus Virtual. El el CV se publicarán los apuntes del curso, las listas de ejercicios y todo el material utiliazado durante el curso.
Nota: Se reservarán 15 mn en clase, dentro del calendario establecido por el centro, para que el alumnado pueda rellenar las encuestas de evaluación del profesorado y de la asignatura.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 15 | 0,6 | |
| Clases de teoria | 30 | 1,2 | |
| Seminarios | 6 | 0,24 | |
| Tipo: Autónomas | |||
| Tiempo de estudio personal | 85 | 3,4 |
Evaluación
Habrá una evaluación específica de la actividad desarrollada durante los seminarios y que contará 20% de la nota final.
Tendrán lugar 2 pruiebas escritas, un parcial a medio semestre (30% de la nota) y un examen final (50% de la nota final).
Es presiso obtener un mínimo de 3.5 en el examen final para poder aprobar la asignatura con la evaluación continuada. Si no se llega a esa nota, sera preciso ir al examen de recuperación de la asignatura. En caso de no presentarse a recuperación, el alumno recibira como nota de la asignatura su nota del examen final.
El examen der ecuperación reemplaza el parcial yy el examen final. El alumno que apruebe la asignatura en la recuperación (con la nota de seminarios) recibirá la calificación final de 5, Aprobado.
Se considerará que un alumno se presentado a las actividades de evaluación si ha participado en actividades cuyo peso sumado es igual o superior al 50% de la nota final. Si no es el caso, el alumno obtendrá la calificación de "no evaluable".
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Evaluación de seminarios | 20% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Examen Final | 50% | 4 | 0,16 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Examen parcial | 30% | 4 | 0,16 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 |
| Exámen de recuperación | 80% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Bibliografía
Bibliogafia básica:
- Jaume Aguadé, Apunts d'un curs de topologia elemental. http://mat.uab.es/~aguade/teaching.html
- Czes Kosniowski, A first course in algebraic topology. Cambridge University Press 1980.
Bibliografia superfícies compactas:
- William S. Massey, A basic course in algebraic topology. Springer-Verlag 1991.
- John M. Lee, Introduction to topological manifolds, Graduate Text in Mathematics 202, Springer, 2011
Bibliografia más completa:
- James Munkres, General Topology, Prentice-Hall, 2000.
- Rysarzd Engelking, General Topology, Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, 1989.
- James Dugundji, Topology, Reprinting of the 1966 original. Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics. Allyn and Bacon, Inc., Boston. 1978.
Recursos libres online:
- Marta Macho-Stadler, Topología, https://www.ehu.eus/~mtwmastm/Topologia1415.pdf
- Jesper Moller, General Topology, http://web.math.ku.dk/~moller/e03/3gt/notes/gtnotes.pdf
- O. Viro, O Ivanov, N. Netsvetaev, V. Kharlamov, Elementary Topology Problem Textbook,
http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/eng-book-nopfs.pdf
Un punto de vista diferente con aplicaciones:
- Colin Adams, Robert Franzosa, Introduction to Topology: Pure andApplied, Prentice-Hall, 2008
Software
Las entregas de los seminarios se realizaran en TeX.