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2022/2023

Estructuras algebraicas

Código: 100096 Créditos ECTS: 9
Titulación Tipo Curso Semestre
2500149 Matemáticas OB 2 2

Contacto

Nombre:
Dolors Herbera Espinal
Correo electrónico:
dolors.herbera@uab.cat

Uso de idiomas

Lengua vehicular mayoritaria:
catalán (cat)
Algún grupo íntegramente en inglés:
No
Algún grupo íntegramente en catalán:
Algún grupo íntegramente en español:
No

Equipo docente

Francesc Xavier Xarles Ribas
Joaquim Roé Vellvé

Prerequisitos

Los requisitos académicos previos los encontraremos en las asignaturas Fundamentos de las Matemáticas y Álgebra Lineal, de primer curso.

La habilidad adquirida en las manipulaciones algebraicas, y la familiaridad con las operaciones en contextos aritméticos o de grupos de permutaciones, se continuarán desarrollando, pasando a un nivel de abstracción más elevado, por otra parte muy común en Matemáticas. También serán importantes las referencias a los espacios vectoriales como modelo de estructura algebraica y a sus conocimientos de manipulación matrices, que serán una fuente importante de ejemplos.

Objetivos y contextualización

Los objetivos de esta asignatura son de dos tipos: alcanzar
formación en álgebra básica y lograr conocimientos y destrezas
para manipular objetos abstractos.

Entre los objetivos de carácter formativo destacamos los siguientes:
entender y utilizar correctamente el lenguaje y el razonamiento matemático, en general, y algebraico, en particular. Ser capaz de hacer pequeñas demostraciones, desarrollar el sentido
crítico ante las afirmaciones matemáticas,
desarrollar actitudes combativas y la creatividad ante los problemas y, finalmente, aprender a aplicar los conceptos y resultados abstractos en ejemplos concretos. Presentar un razonamiento o un problema en público y desarrollar agilidad para responder cuestiones matemáticas en una conversación.

Competencias

  • Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
  • Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
  • Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
  • Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
  • Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  • Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
  • Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
  • Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.

Resultados de aprendizaje

  1. Calcular el máximo común divisor y la factorización de números enteros y polinomios.
  2. Construir grupos y anillos cociente y cuerpos finitos y operar en ellos.
  3. Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
  4. Operar en algunos grupos sencillos (como cíclicos, diédricos, simétricos y abelianos).
  5. Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  6. Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
  7. Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
  8. Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.

Contenido

La asignatura está organizada en cuatro partes:


I.Teoría de Grupos.

  • Grupos, subgrupos y homomorfismos. Ejemplos básicos.
  • Clases laterales. El Teorema de Lagrange.
  • Subgrupos normales, grupo cociente.
  • Teoremas de isomorfismo.
  • Clasificación de los grupos cíclicos. Más cosas sobre grupos abelianos.
  • Acción de un grupo sobre un conjunto.
  • Teoremas de Sylow.



 II. Anillos conmutativos

 

  • Anillos, ideales y morfismos. ejemplos básicos
  • Cocientes y teoremas de isomorfía.
  • Ideales máximos y ideales primeros. El Lema de Zorn.
  • Cuerpo de fracciones de un dominio.
  • El anillo de polinomios



III. Factorización.

  • Dominios de ideales principales.
  • Dominios de factorización única.
  • Lemma de Gauss. Factorización en anillos de polinomios.



IV. Cuerpos finitos.

  • Cuerpos, subcuerpos y característica.
  • Teorema del elemento primitivo por cuerpos finitos.
  • Existencia y unicidad de cuerpos finitos.
  • El morfismo de Frobenius.

Metodología

Esta asignatura tiene 3 horas semanales de teoria , una hora semanal de clase de problemas y, durante el curso, 8 sesiones de seminario de dos horas cada una..

Los alumos dispondran de las listas de problemas previamente para poder pensarlos antes de las clases de problemas. En clase sólo se podran resolver algunos de los problemas propuestos pero se recomienda que los alumnos trabajen por su cuenta y pregunten sus dudas a los profesores.

En las sesiones de seminario los alumnos trabajaran en el aula bajo la supervisión de un profesor. Em algunas sesiones se entregaran ejercicos que contaran para la nota final de la asignatura. 

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.

Actividades

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Tipo: Dirigidas      
Clases de teoria 43 1,72
Dirigidas 16 0,64
Tipo: Supervisadas      
Seminarios 14 0,56
Tipo: Autónomas      
Preparación de seminarios 145 5,8

Evaluación

Un 20% de la nota corresponde a la entrega de problemas en los seminarios (S).
										
											
										
											
										
											Se realizará una prueba escrita, a mediados de semestre, para evaluar las capacidades teóricas y prácticas de la asignatura. La fecha de la prueba la fijará la coordinación del grado. La nota sobre 10 (P) de esta prueba corresponderá a un 30% de la nota
total.

 

Un 50% de la nota corresponde a la obtenida en el examen final de la asignatura F). En este examen se evaluarán los conocimientos teóricos y prácticos de la asignatura.
										
											
										
											F se obtiene una nota mayor o igual que 3,5, entonces obtenemos la nota N = 0,20 · S + 0,30 · P + 0,50 · F. La asignatura quedará aprobada si la nota N es igual o superior a 5 y si se ha sacado un 3,5, al menos en el examen final. En este caso N será la nota de la asignatura. 
										
											
										
											
										
											Las matrículas de honor se otorgarán en función del valor de N.

Habrá un examen de recuperación correspondiente al examen final. Sólo los estudiantes que hayan sacado una nota infrerior a 3,5 en el examen final o que la nota N <5 podrán presentarse a este examen. En este caso, el se calculará el valor N '= MAX (N; 0,20 · S + 0.30 · P + 0,50 · R), donde R denota la nota del examen de recuperación y la nota final será  N'  siempre que este valor no supere el 7 y, en caso contrario, la nota de la asignatura será 7.



Actividades de evaluación

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Autónomas 145 horas, 5,8 ECTS 4 0,16 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Dirigidas 59 horas, 2,36 ECTS 3 0,12 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Bibliografía

[1] R. Antoine, R. Camps, J. Moncasi. Introducció a l'àlgebra abstracta. Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 46, Bellaterra, 2007.

[2] F. Cedó, V. Gisin, Àlgebra bàsica, Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 21, Bellaterra, 2007.

[3] David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd. Edition, Wiley, 2003.

[4] J.B. Fraleigh. A First course in abstract algebra. Pearson Education, 7th Edition, 2014. Review: https://www.maa.org/press/maa-reviews/abstract-algebra

[5] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, Brooks/Cole, 2013. Review: 

https://www.maa.org/press/maa-reviews/abstract-algebra-an-introduction

Software

En la asignatura no está previsto utilizar ningún software específico. Sin embargo, si que un manipulador algebraico (Maple, Sage, ....) puede ser útil a la hora de hacer cálculos.
										
											
										
											Hay programas específicos para maninular grupos como GAP - Groups, Algorithms, Programming -
										
											a System for Computational Discrete Algebra que es útil conocer y que puede resolver la mayor parte de los problemas más calculístics de grupos.