Sistemas dinámicos
Código: 100118 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OT | 4 | 0 |
Contacto
- Nombre:
- Joan Torregrosa Arús
- Correo electrónico:
- Joan.Torregrosa@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- catalán (cat)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- Sí
- Algún grupo íntegramente en español:
- No
Prerequisitos
Ecuaciones diferenciales ordinarias: existencia y unicidad de las soluciones del problema de Cauchy.
Resolución de sistemas diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Álgebra lineal: espacios y subespacios vectoriales, diagonalización de matrices.
Objetivos y contextualización
Este curso es una iniciación a la teoría moderna de sistemas dinámicos. Un primer objetivo es que el alumno se familiarice con la noción de sistema dinámico y los conceptos básicos de esta teoría: estabilidad, atractor, conjunto invariante, alpha y omega límite, etc. El segundo objetivo es entender cómo es el comportamiento local, tanto de los sistemas dinámicos discretos como los continuos, en el entorno de un punto de equilibrio o de una órbita periódica. Este comportamiento local se basa en la clasificación topológica de los sistemas lineales en R^n, tanto los que vienen determinados por el flujo de ecuaciones diferenciales ordinarias (sistemas dinámicos continuos) como los que provienen de la iteración de funciones (sistemas dinámicos discretos). Los sistemas lineales son muy importantes porque son la primera aproximación de sistemas más complicados.
La Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales se inició con los trabajos de Poincaré hacia 1880 en relación con sus trabajos de Mecánica Celeste y trata de conocer propiedades de las soluciones sin necesidad de resolver las ecuaciones. Este enfoque cualitativo, cuando se combina con métodos numéricos adecuados, es, en algunos casos, equivalente a tener las soluciones de la ecuación. Trataremos de que el alumno conozca algunos resultados básicos de la teoría cualitativa (Teoremas de Liapunov, Teorema de Hartman y Teoremas de las variedades estable y central) sobre la estructura local de los puntos críticos y las órbitas periódicas y en el caso de R^2 inicie en el problema de detectar la existencia de órbitas periódicas vía los teoremas de Poincaré-Bendixson y Bendixson-Dulac.
El último objetivo es el de introducir las técnicas para entender la dinámica global discreta. El ejemplo principal será el de una familia paramétrica de sistemas dinámicos discretos: las aplicaciones unimodales, y que (por algunos valores de los parámetro) presentan una dinámica que lleva de manera sencilla a la noción de sistema caótico. Para estos sistemas la aproximación numérica no es factible y para entender su dinámica se necesitan nuevas herramientas. Los sistemas caóticos se presentan a menudo en las aplicaciones (problemas de predicción meteorológica, circuitos eléctricos, etc).
Competencias
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
- Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
Resultados de aprendizaje
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Conocer la resolución de ciertos problemas teóricos así como conocer la existencia de ciertos problemas abiertos en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y de sistemas dinámicos.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Saber aplicar las herramientas dinámicas descritas en las clases de teoría para describir procesos regidos por ecuaciones diferenciales.
- Saber demostrar resultados de ecuaciones en derivadas parciales y sistemas dinámicos.
Contenido
1. Sistema Dinámicos en espacio euclidiano.
- Sistemas dinámicos definidos por ecuaciones diferenciales y por difeomorfismo.
- Órbitas; puntos críticos y órbitas periódicas.
- Conjuntos invariantes y conjuntos límite.
- Atractores. Estabilidad Liapunov.
- Conjugación de sistemas dinámicos.
2. Estudio de la dinámica local, discreta y continua.
- Retrato de fase en el entorno de un punto crítico y de un punto regular (Soluciones de los sistemas lineales, ...)
- Clasificación topológica de los sistemas lineales continuos y discretos.
- Estabilidad (Funciones de Liapunov)
- Teoremas de Hartman, de la variedad estable y de la variedad central.
- Órbitas periódicas: Aplicación de Poincaré y estabilidad.
3. Dinámica global en sistemas continuos.
- Ecuaciones diferenciales ordinarias a R2 (Teorema de Poincaré-Bendixon, Teorema de Bendixon-Dulac, Existencia y unicidad de ciclos límite, ...)
- Ecuaciones diferenciales ordinarias en dimensión mayor que 2.
4. Dinámica global en sistemas discretos.
- Iteración en dimensión 1 y 2.
- Las aplicaciones unimodales.
- Caos. El shift de Bernoulli. La herradura de Smale.
Metodología
La asignatura dispone, a lo largo del semestre de dos horas de clase de teoría y una hora de clase de problemas cada semana.
Los horarios y aulas deberán consultarse en la web de la titulación. Estará abierta una aplicación de esta asignatura en el Campus Virtual (CV), con el fin de suministrar material y toda la información relativa a esta asignatura que necesite al estudiante.
Clases de teoría. El profesor irá desarrollando los temas del programa en el orden indicado. En el CV se pondrá a disposición de los alumnos la bibliografía y parte del material de apoyo, si es necesario, para el desarrollo de la parte teórica y práctica.
Clases de problemas. Las listas de problemas estarán disponibles en el CV. Algunos de estos problemas se trabajarán en el aula.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de Teoría | 29 | 1,16 | |
| Clases de resolució de problemas | 14 | 0,56 | |
| Seminarios | 6 | 0,24 | |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio de la parte teórica | 32 | 1,28 | |
| Preparación del examen | 15 | 0,6 | |
| Realización de problemas | 42 | 1,68 |
Evaluación
Se considera evaluación continuada del examen parcial (35% de la nota total) y el trabajo encargado a los seminarios (20% de la nota total)
IMPORTANTE: Se considerará que un alumno / a se ha presentado en la asignatura si hace 1/2 de la evaluación continua o el examen final o el de recuperación.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Examen Final | 45% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Examen Parcial | 35% | 3 | 0,12 | 2, 4, 8, 9 |
| Prueba de recuperación | 100% | 0 | 0 | 4 |
| Seminaris (3 entregas) | 20% | 6 | 0,24 | 1, 3, 4, 5, 6, 8 |
Bibliografía
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