Aritmética
Código: 100113 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OT | 4 | 0 |
Contacto
- Nombre:
- Marc Masdeu Sabate
- Correo electrónico:
- Marc.Masdeu@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- catalán (cat)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- Sí
- Algún grupo íntegramente en español:
- No
Otras observaciones sobre los idiomas
La bibliografia es en catalán e inglésEquipo docente
- Francesc Xavier Xarles Ribas
Prerequisitos
Es recomendable haber cursado todas las asignaturas obligatorias de álgebra; concretamente, para que un alumno pueda superar la asignatura será imprescindible tener asumidos los conocimientos propios de la asignatura Estructuras Algebraicas.
Objetivos y contextualización
(de Google Translate)
La asignatura tiene como objetivo ser una introducción a los problemas aritméticos y, a la vez, ofrecer una visión de los métodos que intervienen en el análisis y resolución de estos problemas. Dado que hay demasiados tipos de problemas en teoría de números como para ser cubiertos en un curso de estas características, el curso se basa principalmente en los problemas diofántico, y se introduce a partir de estos la teoría algebraica de números y la geometría aritmética.
El curso se divide en cuatro partes: (I) Congruencias y divisibilidad; (II) Curvas elípticas; (III) Ley de reciprocidad cuadrática; y (IV) primalidad y factorización. El nexo de unión de las cuatro partes, y que puede servir de motivación aunque no sea el objetivo del curso, es la aplicación que de ellos se ha hecho a la criptografía.
En la primera parte estudiaremos resultados básicos de congruencias, y veremos las primeras aplicaciones a la criptografía.
La segunda parte ladedicarem a las curvas elípticas, enfatizando las aplicaciones que se ha hecho a la factorización y la criptografía.
En la tercera parte introduciremos la ley de reciprocidad cuadrática y sus consecuencias.
La cuarta parte está dedicada al estudio de algoritmos para determinar la primalidad de enteros, y para encontrar factores no triviales de enteros compuestos.
Contrariamente a lo que algunos podrían creer, la teoría de números es una de las ramas de las matemáticas que más se parece a las ciencias experimentales: su principal objeto de estudio es algo tan concreto como los números, que conocemos y usamos a diario. Es por ello que la experimentación es un rasgo básico de la teoría de números, y esto se refleja en el curso mediante el uso de herramientas informáticas (principalmente Sage) que permiten descubrir, entender y resolver muchos fenómenos aritméticos.
Competencias
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Demostrar una elevada capacidad de abstracción.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Resultados de aprendizaje
- Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas de álgebra avanzada y asimilar la definición de nuevas estructuras y construcciones algebraicas, de relacionarlos con otros conocidos y deducir sus propiedades.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
- Utilizar las herramientas algebraicas en distintos ámbitos.
Contenido
(de Google Translate)
I. Primeros y congruencias divisibilidad
- Factorización de enteros
- Los enteros módulo n
- Métodos efectivos para inversos y exponenciación
- Diffie-Hellman y RSA
II. Curvas elípticas
- Definición y ley de grupo
- Puntos de torsión, puntos racionales
- Curvas sobre cuerpos finitos
- Criptografía con curvas elípticas
- Conteo de puntos
III. La ley de reciprocidad cuadrática
- Residuos cuadráticos y el símbolo de Legendre
- LRQ y demostración
- El símbolo de Jacobi
- Aplicación: raíces cuadradas módulo p
IV. Primalidad y factorización
- Primalidad
- Algoritmos de factorización
- Rho de Pollard
- Bases de factores
- Fracciones continuadas
- Algoritmos por logaritmo discreto
Metodología
(de Google Translate)
Esta asignatura tiene dos horas semanales de teoría. Aparte de los apuntes del curso, en ciertos momentos será necesario completar el contenido de las explicaciones de clase con consultas a bibliografía o material proporcionado por el profesor.
Habrá sesiones dedicadas a resolver problemas. Cada alumno deberá presentar uno de los problemas de la lista resuelto, por escrito y entregado al profesor. Las dudas que surjan se pueden preguntar durante la clase o en las horas de consulta de los profesores. El trabajo sobre estos problemas se apoya en los conceptos introducidos en clase de teoría, los enunciados de los teoremas, y sus demostraciones, ya que muy a menudo las técnicas serán similares.
En los seminarios se practicará el uso de SAGE para resolver un proyecto.
Además, la asignatura dispone de una página en el "campus virtual" donde se irán colgando las listas de problemas, material adicional y cualquier información relacionada con la asignatura.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de Teoría | 30 | 1,2 | 2, 3, 4, 7 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Clases de Problemas | 14 | 0,56 | 2, 3, 4, 8 |
| Prácticas | 6 | 0,24 | 3, 8 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio de la teoría | 37 | 1,48 | 2, 7, 8 |
| Realización de problemas y prácticas de ordenador | 60 | 2,4 | 2, 3, 4, 7, 8 |
Evaluación
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Durante el curso se deberán entregar algún problema, que contará un 25% de la nota final. El estudiante deberá hacer un programa de ordenador en Sage que aplique alguna técnica explicada en clase, de entre una serie de propuestas hechas al primer mes de empezar el curso, y que valdrá el 20% de la nota. Se hará también un trabajo y / o presentación oral, que contribuirá un 25% de la nota. El resto de la nota (30%) se obtendrá de un examen final donde se deberá resolver algún problema con varios apartados.
Sólo se podrá recuperar el examen final y / o el programa, siempre y cuando la nota en cada parte a recuperar haya superado el 3,5 sobre 10. Es importante destacar que, en caso de presentarse a mejorar nota, el estudiante renuncia a la nota previa.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Entrega de problemas | 25% | 0 | 0 | 2, 3, 4, 6, 7, 8 |
| Examen final | 30% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3 |
| Presentación oral | 25% | 0 | 0 | 2, 3, 4, 5, 7, 8 |
| Programa | 20% | 0 | 0 | 2, 3, 4, 7, 8, 9 |
Bibliografía
Principal
W. Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets, Springer-Verlag, Berlin, 2008.
J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, GTM7, Springer, 1973.
N.Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, GTM114, Springer, 1994.
Complementaria
I.N. Stewart, D.O. Tall, Algebraic Number Theory, Chapman and Hall, 1979.
Z.I. Borevich y I.R. Shafarevich, Number Theory, Academic Press, 1966.
L.J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press, 1969.
J. Neukirch, Algebraic number theory, Springer-Verlag 1999.