Anālisi real i funcional
Codi: 100110 Crčdits: 6| Titulaciķ | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemātiques | OT | 4 | 0 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Joan Orobitg Huguet
- Correu electrōnic:
- Joan.Orobitg@uab.cat
Utilitzaciķ d'idiomes a l'assignatura
- Llengua vehicular majoritāria:
- catalā (cat)
- Grup íntegre en anglčs:
- No
- Grup íntegre en catalā:
- Sí
- Grup íntegre en espanyol:
- No
Prerequisits
Tots els cursos anteriors de Càlcul i Anàlisi.
També és important un bon coneixement d'Àlgebra Lineal i de Topologia bàsica.
Objectius
Explicar els conceptes i els resultats fonamentals de la integral de Lebesgue a l’espai euclidià.
Presentar els mètodes de l’anàlisi funcional, en el context dels espais de Banach i de Hilbert.
Competčncies
- Assimilar la definiciķ d'objectes matemātics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Demostrar una elevada capacitat d'abstracciķ.
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües prōpies com en una tercera llengua
- Formular hipōtesis i imaginar estratčgies per confirmar-les o refutar-les.
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bāsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessāries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva ārea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexiķ sobre temes rellevants d'índole social, científica o čtica.
- Utilitzar eficaįment bibliografia i recursos electrōnics per obtenir informaciķ
Resultats d'aprenentatge
- Assimilar la definiciķ d'objectes matemātics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Comprendre el llenguatge i cončixer demostracions rigoroses d'alguns teoremes d'anālisi matemātica avanįada.
- Comprendre la naturalesa de la integral de Lebesgue i els seus avantatges enfront de la integral de Riemann.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües prōpies com en una tercera llengua
- Entendre el concepte de mesura en R^n i el seu procés de construcciķ.
- Formular conjectures i imaginar estratčgies per confirmar o refusar aquestes conjectures
- Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
- Idear demostracions de resultats matemātics de l'ārea d'anālisi matemātica.
- Manejar amb soltesa els espais de Hilbert més importants i saber aplicar, en ells, la teoria bāsica de l'Anālisi Funcional.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessāries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva ārea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexiķ sobre temes rellevants d'índole social, científica o čtica.
- Utilitzar eficaįment bibliografia i recursos electrōnics per obtenir informaciķ.
Continguts
El curs consta de 3 blocs:
Teoria de la Mesura, Espais de Banach i Espais de Hilbert.
1. Limitacions de la integral de Riemann.
2. Mesura de Lebesgue. Teoria abstracta de la mesura.
3. Integral de Lebesgue. Teoria abstracta de la integral. Límit vs integral.
4. Teorema Fonamental del Càlcul. Teorema del canvi de variable. Teorema de Fubini-Tonelli.
5. Integrals depenents d’un paràmetre. Derivació sota signe integral.
6. Espais normats. Espais de Banach. Caracteritzacions.
7. Espais de successions. Espais de funcions. Espais de mesures.
8. Operadors lineals afitats. Norma d’un operador. La topologia dels operadors lineals afitats.
9. Aplicacions: l'equació integral de Volterra.
10. Teoremes de l'aplicació oberta i la gràfica tancada. Principi d'acotació uniforme.
11. Dual topològic d’un espai normat. Teorema de Hahn-Banach.
12. Espais de Hilbert. Teorema de la Projecció. Ortogonalitat.
13. Bases hilbertianes. Desigualtat de Bessel. Identitat de Parseval.
14. Sèries de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue.
15. Operadors compactes. Problerma de Sturm-Liouville.
Metodologia
Aquesta assignatura té 2 hores de teoria i 1 de problemes per setmana.
També consta d'un total de 6 hores de seminaris al llarg del curs.
Tot i que no és obligatòria, sí que és molt recomanable l'assistència a classe per a fer preguntes i aventurar respostes, encara que siguin incorrectes.
Teoria: desenvoluparem els els resultats principals i els posarem en el context de les futures aplicacions.
Problemes: els alumnes rebreu unes llistes d'exercicis que resoldrem a les classes de problemes.
Seminaris: serviran per a complementar els continguts de teoria i problemes.
Els alumnes també disposaran d’unes hores de consulta al despatx del professor, per tal de consultar dubtes, discutir sobre mètodes, etc.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problemes | 14 | 0,56 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15 |
| Classes de teoria | 30 | 1,2 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Classes de seminari | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 15 |
| Tipus: Autōnomes | |||
| Estudi personal | 92 | 3,68 |
Avaluaciķ
Durant el curs farem una activitat d'avaluació (dues hores) per a cada bloc. Consistirà en presentar la demostració d'algun resultat, d'una llista establerta abans de l'avaluació, i en la resolució d'exercicis.
Bloc 1. Teoria de la Mesura (30%)
Bloc 2. Espais de Banach (30%)
Bloc 3. Espais de Hilbert (30%)
La entrega d'exercicis resolts, a mesura que el professor ho vaig indicant, complementa (10%) l'avaluació de curs.
El dia assenyalat per la Coordinació del Grau com Examen Final (o de recuperació), els alumnes que no hagin superat l'assignatura realitzaran un examen de recuperació amb tota la matèria del curs. La puntuació màxima que es pot obetnir en aquest examen de recuperació és de 7.
TOTS ELS CONTINGUTS DE L'ASSIGNATURA SÓN AVALUABLES (TEORIA, PROBLEMES, SEMINARIS).
La metodologia docent i l'avaluació proposades poden experimentar alguna modificació en funció de les restriccions a la presencialitat que imposin les autoritats sanitàries.
Activitats d'avaluaciķ
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Bloc 1. Teoria de la Mesura | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15 |
| Bloc 2. Espais de Banach. | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
| Bloc 3. Espais de Hilbert | 30% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
| Entrega d'exercicis | 10% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 |
Bibliografia
J. Bruna, Anàlisi Real, UAB Servei de Publicacions, 1996.
J.M. Burgués, Integració i càlcul vectorial, UAB Servei de Publicacions, segona edició, 2002.
S. Lang, Real and functional analysis, Graduate texts in mathematics, Springer, 1993.
W. Rudin Real and functional analysis, Alambra,1979.