Titulaciķ | Tipus | Curs | Semestre |
---|---|---|---|
2500149 Matemātiques | OT | 4 | 0 |
Equacions diferencials ordinàries: existència i unicitat de les solucions del problema de Cauchy.
Resolució de sistemes diferencials lineals amb coeficients constants.
Àlgebra lineal: espais i subespais vectorials, diagonalització de matrius.
Aquest curs és una iniciació a la teoria moderna de sistemes dinàmics. Un primer objectiu és que l'alumne es familiaritzi amb la noció abstracte de sistema dinàmic i els conceptes bàsics d'aquesta teoria: estabilitat, atractor, conjunts invariants, omega límits, etc. El segon objectiu és entendre com és el comportament local, tant dels sistemes dinàmics discrets com els continus, en l'entorn d'un punt d'equilibri o d'una òrbita periòdica. Aquest comportament local es basa en la classificació topològica dels sistemes lineals a Rn, tant els que venen determinats pel flux d'equacions diferencials ordinàries (sistemes dinàmics continus) com els que provenen de la iteració de funcions (sistemes dinàmics discrets). Els sistemes lineals són molt importants. D'una banda perquè apareixen en l'estudi de molts fenòmens físics d'interès i d'altra banda perquè són la primera aproximació de sistemes més complicats.
La Teoria qualitativa de les equacions diferencials es va iniciar amb els treballs de Poincaré cap a l'any 1880 en relació amb els seus treballs de Mecànica Celest i tracta de conèixer propietats de les solucions sense necessitat de resoldre les equacions, entre altres coses perquè la resolució no és factible. Aquest enfoc qualitatiu, quan es combina amb mètodes numèrics adequats, és, en alguns casos, equivalent a tenir les solucions de l'equació. Tractarem doncs de que l'alumne conegui alguns resultats bàsics de la teoria qualitativa (Teoremes de Liapunov, Teorema de Hartman i Teoremes de les varietats estable i central) sobre l'estructura local dels punts crítics i les òrbites periòdiques i en el cas de R2 s'iniciï en el problema de detectar l'existència d'òrbites periòdiques via els teoremes de Poincaré-Bendixson i Bendixson-Dulac.
L'últim objectiu és el d'introduir les tècniques per entendre la dinàmica global discreta. L'exemple principal serà el d'una família paramètrica de sistemes dinàmics discrets: les aplicacions unimodals, i que (per alguns valors dels paràmetre) presenten una dinàmica que porta de manera senzilla a la noció de sistema caòtic. Per aquests sistemes l'aproximació numèrica no és factible i per entendre la seva dinàmica calen noves eines. Els sistemes caòtics es presenten sovint a les aplicacions (problemes de predicció meteorològica, circuits elèctrics, etc).
1.Sistemes Dinàmics a espais Euclidians.
2. Estudi de la dinàmica local, discreta i continua.
3. Dinàmica global en sistemes continus.
4. Dinàmica global en sistemes discrets.
Els continguts poden ser adaptats, si cal, segons els continguts cursats a les assignatures d'equacions diferencials de tercer.
L'assignatura disposa, al llarg del semestre de dues hores de classe de teoria i una hora de classe de problemes cada setmana.
Els horaris i aules hauran de consultar-se al web de la titulació. Estarà oberta una aplicació d'aquesta assignatura al Campus Virtual (CV) per tal de subministrar part del material i tota la informació relativa a aquesta assignatura.
Classes de teoria. El professor anirà desenvolupant els temes del programa en l'ordre indicat. Al CV hi haurà també a disposició dels alumnes una bibliografía i part del material de suport, si cal, per a la teoría i/o problemes.
Classes de problemes. Les llistes de problemes estaran disponibles al CV. Alguns d’ aquests problemes es treballaran a l'aula.
Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
---|---|---|---|
Tipus: Dirigides | |||
Classes de Teoria | 29 | 1,16 | |
Classes de resoluciķ de problemes | 14 | 0,56 | |
Seminaris | 6 | 0,24 | |
Tipus: Autōnomes | |||
Estudi de la part teōrica | 32 | 1,28 | |
Preparaciķ d'examen | 15 | 0,6 | |
Realitzaciķ de problemes | 42 | 1,68 |
Es considera avaluació continuada l'examen parcial (35% de la nota total) i la feina encarregada als seminaris (20% de la nota total)
L'examen de recuperació només permetrá recuperar la nota de l'examen de final de semestre (45% de la nota total). La resta es considera avaluació continuada, i per tant, no recuperable. Cal haver participat en 2/3 de les activitats avaluades.
IMPORTANT: Es considerarà que un alumne/a s'ha presentat a l'assignatura si fa 1/2 de l'avaluació continuada o l'examen final o el de recuperació.
Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
---|---|---|---|---|
Examen Final | 45% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Examen Parcial | 35% | 3 | 0,12 | 2, 4, 8, 9 |
Prova de recuperaciķ | 100% | 0 | 0 | 4 |
Seminaris (3 entregues) | 20% | 6 | 0,24 | 1, 3, 4, 5, 6, 8 |
L.H. ALVES, Sistemas Dinâmicos, Mack Pesquisa, 2006.
D.K. ARROWSMITH, C.M. PLACE, An Introduction to dynamical Systems, Cambridge University Press, 1990.
D.K. ARROWSMITH, C.M. PLACE, Dynamical Systems, differential equations, maps and chaotic behaviour, Chapman & Hall Mathematics, 1992.
R.L. DEVANEY, An introduction to chaotic dynamical systems, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1986.
R.L. DEVANEY, Chaos, fractals and Dynamics, Computer experiments in mathematics, Addison-Wesley, 1990.
R.L. DEVANEY, A first course in chaotic dynamical systems, Theory and Experiment, Studies in Nonlinearity, 1992.
F. DUMORTIER, J.LLIBRE and J.C. ARTES, Qualitative Theory of Planar Differential Systems, Universitext, Springer-Verlag Berlin, 2006.
C. FERNANDEZ, F. j. VAZQUEZ, J. M. VEGAS, Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Sistemas Dinámicso, Thomson 2003.
J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, 1993.
M. HIRSCH, S. SMALE and R. DEVANEY, Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos, Elsevier Academic Press, 2004.
M.C. IRWIN, Smooth Dynamical Systems, Advanced series in Nonlinear Dynamics, vol.17, World Scientific, 2001.
S. LYNCH, Dynamical Systems with Applications using MAPLE, Birkhäuser, 2000.
L. PERKO, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1996.
C. ROBINSON, Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics and Chaos CRC Press, 1999.
J. L. ROMERO, C. GARCIA, Modelos y Sistemas Dinámicos, Univesidad de Cádiz, 1998.
J. SOTOMAYOR, Liçoes de equacoes diferenciais ordinárias, Projecto Euclides, Gráfica Editora Hamburg Ltda., 1979.