Topología de variedades
Código: 100114 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OT | 4 | 0 |
Contacto
- Nombre:
- Wolfgang Pitsch
- Correo electrónico:
- Wolfgang.Pitsch@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- español (spa)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- No
- Algún grupo íntegramente en español:
- Sí
Equipo docente
- Roberto Rubio Nuñez
Prerequisitos
Se recomienda haber cursado exitosamente la asignatura de Geometría diferencial del 3er año.
Objetivos y contextualización
Ever since the concept of homeomorphism was clearly defined, the "ultimate" problem in topology has been to classify topological spaces ''up to homeomorphism". That this was a hopeless undertaking was very soon apparent, the subspaces of the plane R2 being an obvious example. From this impossibility were born algebraic and differential topology, by a shift of emphasis which consisted in associating "invariant" objects to some types of spaces (objects are the same for two homeomorphic spaces). At first these objects were integers, but it was soon realized that much more information could be extracted from invariant algebraic structures such as groups and rings.
(Jean Dieudonné, A history of algebraic and differential topology 1900--1960)
El objetivo de este curso es doble. Por una parte, introduciremos una de las clases de espacios topológicos más importantes, y más estudiadas: las variedades diferenciables. Estos espacios, muy comunes tanto en matemáticas como en física, por ejemplo, tienen la agradable característica de ser los espacios en los cuales se pueden extender sin demasiadas dificultades los conceptos previamente vistos en las asignaturas de Cálculo en Diversas Variables y de Geometría Diferencial.
Por otra parte haremos una introducción a los métodos cohomológicos en topología. La cohomología de de Rahmes un ejemplo de un proceso sumamente útil para entender la “forma” de las variedades: consiste en transformar (parte de) la información geométrica que soporta una variedad en objetos algebraicos, aquí una sucesión de espacios vectoriales. Esto permite a priori la siguiente estrategia para resolver un problema sobre una variedad: traducirlo en un problema algebraico, calcular la solución en álgebra y reinterpretar de manera geométrica el resultado. En particular estos espacios vectoriales codifican de manera muy asequible varias propiedades de la variedad: su dimensión, su orientabilidad, propiedades de orientabilidad superiores (estructuras spin, etc.). Además de introducir estos grupos de cohomología presentaremos algunas de las herramientas utilizadas para extraer la información relevante de estos espacios.
Esto será pues un primer vistazo a una teoría que va desarrollándose desde finales del siglo XIX y que continúa activa. Entre sus grandes logros se encuentran: la clasificación de las superficies, la demostración de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que 5, el problema del "invariante de Kervaire 1" y más recientemente el desarrollo de técnicas topológicas para el análisis de datos.
Competencias
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Demostrar una elevada capacidad de abstracción.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Formular hipótesis e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Resultados de aprendizaje
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Comprender el lenguaje abstracto y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas de geometría y topología avanzadas.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Idear demostraciones de resultados matemáticos del área de geometría y topología.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Contenido
El curso abarcará los siguientes temas:
1) Definición de variedad lisa:
- Noción de atlas.
- Funciones lisas.
- Subvariedades.
2) Espacio tangente:
- Vector tangente.
- Aplicación tangente.
- Inmersiones, submersiones.
- Transversalidad
3) Campos vectoriales:
- Definiciones.
- Flujo de un campo de vectores.
- Cálculo de Lie.
- Fibrados vectoriales generales.
4) Formas diferenciales:
- Definición.
- Producto exterior y diferencial.
- Complejo de de Rahm.
- Noción de homología.
5) Cohomología de de Rahm:
- Propiedades formales.
- Invariancia homotópica.
- Sucesiones de Mayer-Vietoris.
- Teorema de Künneth.
6) Orientabilidad:
- Producto cup.
- Integración de formas diferenciales.
- Fórmula de Stokes.
- Dualidad de Poincaré.
Metodología
En este curso se seguirá una metodología de “aula invertida”. A los alumnos se les proporcionarán cada semana unas cuantas páginas de lectura y de problemas que se deberán estudiar a conciencia antes de llegar a clase. Estas páginas vendrán acompañadas de una guía de lectura y de preguntas destinadas a estimular la reflexión personal de los alumnos. La clase se destinará a resolver dudas, comentar los conceptos descubiertos y resolver problemas. Se espera que sean los alumnos los partícipes de la discusión, los profesores estarán presentes para guiar la discusión, aportar su experiencia y sugerir temas.
Se espera que las discusiones se lleven en pequeños grupos en el aula, y se hagan también comentarios para toda la clase sobre los avances conseguidos. Esta dinámica de grupos será también la que se seguirá en las clases virtuales.
Las horas de seminario se utilizarán para hacer presentaciones por parte de los alumnos sobre temas que habrán previamente discutido y trabajado en grupos.
En el campus virtual de la asignatura se proporcionará una guía detallada sobre la metodología utilizada en este curso.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 14 | 0,56 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Clases de teoría | 30 | 1,2 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Seminarios | 6 | 0,24 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Asimilación de conceptos, argumentos y resultados teóricos | 45 | 1,8 | 5, 7, 9, 11 |
| Preparación y exposición de trabajos | 15 | 0,6 | 1, 2, 4, 7, 9, 11 |
| Resolución de problemas | 30 | 1,2 | 2, 6, 7, 9 |
Evaluación
La evaluación se hará en dos modalidades: una parte importante de evaluación continuada y una parte de evaluación presencial en forma de examen final. No se hará ningún parcial intersemestral.
Cada semana en la hoja con los contenidos teóricos que se tendrán que estudiar antes de clase encontrarán tres tipos de preguntas:
Preguntas tipo A): Preguntas sobre los conceptos, algún ejercicio muy básico.
Preguntas tipo B): Ejercicios de calentamiento para entender los conceptos.
Preguntas tipo C): Ejercicios avanzados.
Se espera que cada alumno entregue el domingo sus respuestas a las preguntas A). Estas son evaluadas sobre 15, y solo son posibles 4 notas: 0, 5, 10 y 15. Solo se evalúa el esfuerzo de haber intentado contestar las preguntas y no la corrección de las mismas. Las notas obtenidas se promedian y permiten obtener una nota A. Dividida por 10 esta nota irá de 0 a 1.5.
Los ejercicios B) Se deben entregar al inicio de la sesión del martes. Se evalúan igualmente sobre 15, con las 4 solas notas: 0, 5, 10 y 15. Igualmente no se puntúa tanto si las respuestas son correctas o no como el esfuerzo que se ha puesto en contestar y la calidad de la redacción. La nota de 15 supone el haber en gran parte propuesto soluciones mayoritariamente correctas. Las notas obtenidas se promedian ypermiten obtener una nota B. Dividida por 10 esta nota irá de 0 a 1.5.
Los ejercicios C) en general no se resolverán en clase. Un cierto número de veces se pedirá que se preparen algunos. El objetivo para estos ejercicios es hacerlos perfectamente, por lo que es posible que los profesores pidan rehacer algunos de ellos si hace falta. Las notas obtenidas se promedian y permiten obtener una nota C, entre 0 y 10.
Por pequeños grupos se les pedirá estudiar algunos temas fuera del temario del curso, pero dentro de los límites del mismo. Cada grupo deberá entregar una sinopsis del tema tratado, así como un plan para su presentación oral. Cada grupo presentará de manera oral su tema a los profesores y a sus compañeros. El resultado final da lugar a una nota P, en la que se evalúa tanto la pequeña contribución escrita como la calidad de la presentación oral. Esto da lugar a una nota P, entre 0 y 10.
El examen final permitirá obtener una nota F ente 0 y 10.
NO HAY PARCIAL.
La nota final será pues: A + B +0.2C + 0.2P + 0.3F
Un documento en el campus virtual de la asignatura recordará la manera de llevar a cabo la evaluación con más detalles.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Entrega de problemas, tipo C. | 20% | 0 | 0 | 2, 4, 6, 7, 8, 11 |
| Evaluación continuada tipo A | 20% | 3 | 0,12 | 2, 3, 4, 7, 11 |
| Evaluación continuada tipo B. | 15% | 0 | 0 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11 |
| Exámen de recuperación | 50% | 3 | 0,12 | 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11 |
| Exámen final | 30% | 3 | 0,12 | 2, 3, 6, 8 |
| Presentación oral, tipo P. | 20% | 1 | 0,04 | 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 |
Bibliografía
Básica:
J.M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 218, Springer-Verlag, New York. xvii+ 631 pp.
L. W. Tu. An introduction to manifolds. Universitext. Springer, New York, second edition, 2011. 384 pp.
Avanzada:
A. Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html).
R. Bott and L.W. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. xiv+331 pp.
M. W. Hirsch Differential Topology, Graduate Texts in Mathematics 33, Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin 1976. x + 222pp.
P. Michor, Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics 93. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+494 pp. (https://www.mat.univie.ac.at/~michor/dgbook.pdf)