Logo UAB
2020/2021

Anālisi complexa i de Fourier

Codi: 100103 Crčdits: 6
Titulaciķ Tipus Curs Semestre
2500149 Matemātiques OB 3 2
La metodologia docent i l'avaluaciķ proposades a la guia poden experimentar alguna modificaciķ en funciķ de les restriccions a la presencialitat que imposin les autoritats sanitāries.

Professor/a de contacte

Nom:
Juan Eugenio Mateu Bennassar
Correu electrōnic:
Joan.Mateu@uab.cat

Utilitzaciķ d'idiomes a l'assignatura

Llengua vehicular majoritāria:
catalā (cat)
Grup íntegre en anglčs:
No
Grup íntegre en catalā:
Sí
Grup íntegre en espanyol:
No

Prerequisits

Per seguir bé aquesta assignatura convé saber càlcul diferencial en vàries variables.

 

Objectius

Conèixer i saber utilitzar els conceptes i resultats fonamentals de l'Anàlisi Complexa.

Conèixer i saber utilitzar els conceptes bàsics de la transformada de Fourier.

Entendre amb profunditat les demostracions dels resultats més importants i les tècniques més habituals de l'àrea.

Competčncies

  • Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
  • Assimilar la definiciķ d'objectes matemātics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
  • Calcular, reproduir determinades rutines i processos matemātics amb agilitat
  • Comprendre i utilitzar el llenguatge matemātic
  • Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
  • Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
  • Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
  • Recončixer la presčncia de les Matemātiques en altres disciplines
  • Utilitzar aplicacions informātiques d'anālisi estadística, cālcul numčric i simbōlic, visualitzaciķ grāfica, optimitzaciķ o altres per experimentar en Matemātiques i resoldre problemes

Resultats d'aprenentatge

  1. Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
  2. Contrastar els coneixements teōric-prāctics adquirits.
  3. Cončixer els resultats bāsics i les propietats fonamentals de les funcions holomorfes i la teoria de Cauchy.
  4. Cončixer les transformacions de Fourier i de Laplace de funcions elementals i seu aplicaciķ a la resoluciķ d'equacions diferencials.
  5. Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
  6. Manejar amb facilitat el calcul de residus i les seves aplicacions
  7. Manejar amb soltesa transformacions homogrāfiques i la representaciķ conforme.
  8. Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
  9. Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
  10. Saber calcular coeficients de Fourier de funcions periōdiques i les seves possibles aplicacions immediates en cālcul de sumes de sčries.

Continguts

1. Preliminars. Nombres complexos. Funcions holomorfes i sèries de potències. Equacions de Cauchy-Riemann.

2. Teoria Local de Cauchy. Integrals de línia complexes. Teorema de Cauchy-Gourssat i el Teorema local de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Holomorfia i analiticitat. Prolongació analítica. Desigualtats de Cauchy, Teorema de Liouville i Teorema Fonamental de l'àlgebra. El principi del mòdul màxim.

3. Teorema dels residus. Sèries de Laurent i Singularitats aïllades. Teorema dels residus i aplicacions. El principi de l'argument i el Teorema de Rouché.

4. Funcions harmòniques i Transformada de Fourier. Funcions holomorfes i funcions harmòniques en un disc. Transformada de Fourier.

Metodologia

S'impartiran dues hores setmanals de classes de Teoria on s'aniran desgranant els conceptes i enunciant els resultats importants (teoremes) que basteixen la teoria que anem introduint.
Ens dedicarem a demostrar els teoremes i els mètodes de resolució mitjançant exemples i exercicis.

L'alumne rebrà unes llistes d'exercicis i problemes sobre les que treballarem a la classe setmanal de problemes. Prèviament, durant la seva activitat no presencial, haurà llegit i pensat els exercicis i problemes proposats. D'aquesta manera es podrà garantir la seva participació a l'aula i es facilitarà l'assimilació dels continguts procedimentals.


En les 3 sessions de seminari es tractaran temes complementaris com per exemple: homografies; representacions conformes; producte de convolució i aproximació de la identitat.

Com és natural, els estudiants disposaran d'hores de consulta al despatx del professor.

 

 

Activitats formatives

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Tipus: Dirigides      
Problemes 14 0,56 3, 4, 6, 7, 10
Seminari 6 0,24 3, 4, 6, 7, 10
Teoria 28 1,12 3, 4, 6, 7, 10
Tipus: Autōnomes      
Estudi 88 3,52 3, 4, 6, 7, 10

Avaluaciķ

L'aprenentatge de les matemàtiques és un procès complex. És un procès a llarg terme; en cert sentit, hom no pot apreciar el significat del primer teorema fins que no ha après l'últim teorema.
Es realitzaran dos examens escrits durant el semestre,  els quals consistiràn principalment en la resolució de problemes, però també contindran una part teòrica.

L'alumne  que no es presenti al 51% de les proves parcials tindrà un "No evaluable" de nota final. 

Hi haurà dues proves escrites durant el semestre  (30%+50%) hi una nota de seminaris( 20%).

L'examen final tindrà una recuperació dins el període oficial d'exàmens, al qual també hi pot optar l'alumne que hagi aprovat per millorar nota.

Les possibles matrícules d'honor seran atorgades un cop completada tota l'avaluació, possible recuperació inclosa.

 

Activitats d'avaluaciķ

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Examen de recuperaciķ 80 4 0,16 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Primer parcial 30 4 0,16 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9
Segon Parcial 50 4 0,16 3, 6, 8, 9
Seminaris 20 2 0,08 3, 4, 6, 7, 10

Bibliografia

L. AHLFORS; Complex Analysis. Mc Graw-Hill. 3ra edició, 1979.


J. BRUNA & J. CUFÍ; Anàlisi Complexa. Manuals UAB 49. 2008.


W. RUDIN Análisis Real y Complejo Alhambra. 1979.


E.M. STEIN & R. SHAKARCHI; Complex Analysis. Princeton University Press. 2003.

 

J. P. D'ANGELO; An introduction to Complex Analysis and Geometry;  A.M.S. (2010)