Logo UAB
2020/2021

Teoria de Galois

Codi: 100102 Crčdits: 6
Titulaciķ Tipus Curs Semestre
2500149 Matemātiques OB 3 1
La metodologia docent i l'avaluaciķ proposades a la guia poden experimentar alguna modificaciķ en funciķ de les restriccions a la presencialitat que imposin les autoritats sanitāries.

Professor/a de contacte

Nom:
Francesc Perera Domčnech
Correu electrōnic:
Francesc.Perera@uab.cat

Utilitzaciķ d'idiomes a l'assignatura

Llengua vehicular majoritāria:
catalā (cat)
Grup íntegre en anglčs:
No
Grup íntegre en catalā:
Grup íntegre en espanyol:
No

Equip docent

Francesc Bars Cortina

Prerequisits

Per a un bon seguiment de l'assignatura és necessari tenir present la Teoria de Grups  vista a l'assignatura d'Estructures Algebraiques. Els grups s'usen de  manera essencial dins de l'assignatura. De cara a poder treballar amb exemples, és especialment interessant està familiaritzat amb els grups "d'ordre petit".

 

També és important tenir present la part de  teoria d'anells donada en l'assignatura Estructures algebraiques, especialment totes les qüestions relacionades amb la irreductibilitat de polinomis. La teoria de cossos finits donat a Estructures algebraiques també serà de molta utilitat.

 

Objectius

L'objectiu d'aquesta assignatura és presentar els rudiments de la Teoria de Galois i la seva aplicació a problemes de construcció amb regle i compàs i sobre la resolubilitat d'equacions per radicals. Aquest últim problema, un dels més antics de la història de les matemàtiques, té les seves arrels a l'antiguitat en temps dels babilonis i culmina brillantment amb l'obra d'Évariste Galois qui desenvolupà la teoria per a caracteritzar les equacions resolubles per radicals.

La presentació moderna de la teoria de Galois representa una part central de l'Àlgebra ja que els mètodes d'abstracció que s'hi utilitzen ens mostren la potència de diverses eines algebraiques introduïdes anteriorment. Així doncs, la traducció del problema a la teoria de cossos i posteriorment a la teoria de grups ens explica com branques abstractes i teòriques poden resoldre un problema clàssic i més aplicat.


En aquest curs començarem per introduir el problema de resolubilitat d'equacions per radicals en el context històric. Posteriorment la teoria de cossos ens proporcionarà el marc formal adequat on plantejar el problema i presentar de manera clara la teoria de Galois d'equacions.

Una de les eines fonamentals a la Teoria de Galois és la teoria de grups. El seu millor coneixement permet treballar més exemples i obtenir millors resultats. No obstant, per motius de temps, introduirem tant sols els conceptes més bàsics i recordarem les propietats necessàries durant el desenvolupament del curs.

 

Competčncies

  • Assimilar la definiciķ d'objectes matemātics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
  • Comprendre i utilitzar el llenguatge matemātic
  • Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
  • Demostrar una elevada capacitat d'abstracciķ.
  • Distingir, davant d'un problema o situaciķ, el que és substancial del qual és purament ocasional o circumstancial.
  • Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
  • Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessāries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
  • Que els estudiants puguin transmetre informaciķn idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
  • Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.

Resultats d'aprenentatge

  1. Calcular grups de Galois d'equacions de grau baix i deduir la seva resolubilitat per radicals.
  2. Construir grups i anells quocient i cossos finits i operar en ells.
  3. Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
  4. Manipular expressions que involucrin elements algebraics i transcendents.
  5. Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
  6. Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessāries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
  7. Que els estudiants puguin transmetre informaciķn idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
  8. Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
  9. Relacionar construccions geomčtriques amb extensions algebraiques

Continguts

1. Elements bàsics

Resolució d'equacions polinomials: les fórmules per radicals pels polinomis de grau petit.

Anells, morfismes d'anells. Cos de fraccions d'un domini.

Característica d'un cos.

2. Extensions de cossos.

Elements algebraics i elements transcendents.

El grau d'una extensió de cossos. Fórmula de les Torres.

Extensions algebraiques.

Extensions de monomorfismes. El grup Gal(L/K).

Cos de descomposició d'un polinomi.

3. Extensions normals i extensions separables

Extensions normals. 

Derivada formal d'un polinomi i polinomis amb arrels múltiples. 

Elements separables i extensions separables.

El cas dels cossos finits.


4. El Teorema fonamental de la teoria de Galois finita.

Extensions de Galois. El Teorema d'Artin.
La correspondència de Galois: El teorema Fonamental.


5. Teoria de Galois d'equacions.

Polinomis resolubles per radicals i grups resolubles.

Extensions ciclotòmiques i cícliques.

Teorema de Galois de resolubilitat per radicals.

Polinomis amb grup de Galois S_p, amb p primer.

6. Un exemple particular de cos: Punts construïbles amb regle i compàs. 

 

Metodologia

L'assignatura disposa de dues hores de classe de teoria i una de problemes durant 15
setmanes del curs. També hi ha 3 sessions de seminaris de dues hores que es
realitzaran durant 3 setmanes del semestre. Es recomana fortament l'assistència tant a les classes de teoria, a
les de problemes i als seminaris.
A les classes de teoria donarem les eines necessàries i més importants per a la comprensió i resolució de
problemes.
A les classes de problemes s'aprofundirà en l'assimilació i millor comprensió dels conceptes desenvolupats a
les classes teòriques mitjançant la resolució de problemes i exercicis. Aquest treball es durà a terme
mitjançant les explicacions fetes pel professor a la pissarra i la participació activa dels estudiants en la
discussió dels diferents arguments emprats per tal de solucionar els problemes.
Als seminaris, l'alumne pren part activa de diversa forma. Hi ha tres sessions de seminari i, en general, estaran molt enfocats al càlcul d'exemples.

Aquesta assignatura també oferirà recursos mitjançant el Campus Virtual. En aquest anirem penjant els
enunciats de les llistes de problemes i altre material que pugui complementar les classes de teoria,
problemes i seminaris.

 

Activitats formatives

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Tipus: Dirigides      
Classe de seminaris 6 0,24 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Classes de problemes 15 0,6 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Classes de teoria 30 1,2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Tipus: Autōnomes      
Estudi de teoria 27 1,08 1, 4, 5, 6, 8, 9
Preparaciķ d'exāmens 16 0,64 1, 4, 6, 8, 9
Preparaciķ de seminaris 10 0,4 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9
Realitzaciķ de problemes 40 1,6 1, 2, 4, 6, 8, 9

Avaluaciķ

L'avaluació de l'assignatura es farà de la manera següent:

Un 35% de la nota correspondrà a la realització d'un examen parcial.

Un 15% de la nota correspondrà a lliuraments de problemes i/o pràctiques.

Un 50% de la nota correspondrà a la realització d'un examen final.

Hi haurà un examen de recuperació, que permetrà recuperar la nota dels exàmens parcials. Per tal que un alumne es pugui presentar a aquest examen, caldrà haver-se presentat als examens parcials (primer i segon).


Qualificació de No Avaluable. Un alumne es considera no avaluable tant sols quan compleix tots els requisits
següents:
no es presenta a l'examen de gener-febrer,
no es presenta a l'examen de recuperació de febrer.

Matrícules: Després de l'examen final s'atorgaran les matrícules d'honor que es considerin clares. Aquestes matrícules d'honor seran ja definitives. Si el nombre màxim de matrícules permès no s'ha assolit, es reconsiderarà la possibilitat d'atorgar-ne més després de l'examen de recuperació, en el que els estudiants poden millorar la seva nota de curs.

 

Activitats d'avaluaciķ

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Examen 50% 3 0,12 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9
Presentaciķ exercicis 15% 1 0,04 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Prova intersemestral 35% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9

Bibliografia

F.Bars, Teoria de Galois en 30 hores, http://mat.uab.cat/~francesc/docencia2.html

David A. Cox, Galois Theory. Hoboken : Wiley-Interscience, cop. 2004  http://syndetics.com/index.aspx?isbn=0471434191/summary.html&client=autbaru&type=rn12

D. S. Dummit, M. R. Foote, Abstract Algebra, Wiley, 2004.

D.J.H. Garling. A course in Galois Theory. Cambridge Univ. Press, 1986.

J. Milne. Fields and Galois Theory, http://www.jmilne.org/math/

P. Morandi. Fields and Galois Theory. GTM 167, Springer.

S. Roman. Field Theory. GTM 158, Springer.

Ian Steward "Galois Theory" Chapman & Hall / CRC, 2004  http://syndetics.com/index.aspx?isbn=1584883936/summary.html&client=autbaru&type=rn12

 

Bibliografia complementària:

Michael Artin, "Algebra" Prentice Hall, cop. 2011 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=9780132413770/summary.html&client=autbaru&type=rn12

T. Hungerford, "Algebra" New York : Springer-Verlag, cop. 1974 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=0387905189/summary.html&client=autbaru&type=rn12

Jean-Perre Tignol, "Galois' Theory of Algebraic Equations". World Scientific 2001

A. M. de Viola Priori, J.E. Viola-Priori. Teoría de cuerpos y Teoría de Galois. Reverté (2006).

 

Una versió novelada de la vida de Galois:

Josep Pla i Carrera. Damunt les espatlles de gegants. 1ra Edició: Editorial la Magrana. 2na Edició: Edicions FME http://www.fme.upc.edu/ca/arxius/damunt-les-espatlles-dels-gegants_jpla

  

Algunes webs d'interès:
http://www.galois-group.net
http://godel.ph.utexas.edu/~tonyr/galois.html
htpp://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Galois.html
Curiositats origami: Robert J. Lang: http://www.langorigami.com
Tom Hull: http://www.merrimack.edu/thull/~omfiles/geoconst.html
Koshiro Hatori: http://origami.ousaan.com/library/conste.html
http://www.langorigami.com/science/mathlinks/mathlinks.php4.