Titulaciķ | Tipus | Curs | Semestre |
---|---|---|---|
2500149 Matemātiques | OB | 3 | 1 |
Per a un bon seguiment de l'assignatura és necessari tenir present la Teoria de Grups vista a l'assignatura d'Estructures Algebraiques. Els grups s'usen de manera essencial dins de l'assignatura. De cara a poder treballar amb exemples, és especialment interessant està familiaritzat amb els grups "d'ordre petit".
També és important tenir present la part de teoria d'anells donada en l'assignatura Estructures algebraiques, especialment totes les qüestions relacionades amb la irreductibilitat de polinomis. La teoria de cossos finits donat a Estructures algebraiques també serà de molta utilitat.
L'objectiu d'aquesta assignatura és presentar els rudiments de la Teoria de Galois i la seva aplicació a problemes de construcció amb regle i compàs i sobre la resolubilitat d'equacions per radicals. Aquest últim problema, un dels més antics de la història de les matemàtiques, té les seves arrels a l'antiguitat en temps dels babilonis i culmina brillantment amb l'obra d'Évariste Galois qui desenvolupà la teoria per a caracteritzar les equacions resolubles per radicals.
La presentació moderna de la teoria de Galois representa una part central de l'Àlgebra ja que els mètodes d'abstracció que s'hi utilitzen ens mostren la potència de diverses eines algebraiques introduïdes anteriorment. Així doncs, la traducció del problema a la teoria de cossos i posteriorment a la teoria de grups ens explica com branques abstractes i teòriques poden resoldre un problema clàssic i més aplicat.
En aquest curs començarem per introduir el problema de resolubilitat d'equacions per radicals en el context històric. Posteriorment la teoria de cossos ens proporcionarà el marc formal adequat on plantejar el problema i presentar de manera clara la teoria de Galois d'equacions.
Una de les eines fonamentals a la Teoria de Galois és la teoria de grups. El seu millor coneixement permet treballar més exemples i obtenir millors resultats. No obstant, per motius de temps, introduirem tant sols els conceptes més bàsics i recordarem les propietats necessàries durant el desenvolupament del curs.
1. Elements bàsics
Resolució d'equacions polinomials: les fórmules per radicals pels polinomis de grau petit.
Anells, morfismes d'anells. Cos de fraccions d'un domini.
Característica d'un cos.
2. Extensions de cossos.
Elements algebraics i elements transcendents.
El grau d'una extensió de cossos. Fórmula de les Torres.
Extensions algebraiques.
Extensions de monomorfismes. El grup Gal(L/K).
Cos de descomposició d'un polinomi.
3. Extensions normals i extensions separables
Extensions normals.
Derivada formal d'un polinomi i polinomis amb arrels múltiples.
Elements separables i extensions separables.
El cas dels cossos finits.
4. El Teorema fonamental de la teoria de Galois finita.
Extensions de Galois. El Teorema d'Artin.
La correspondència de Galois: El teorema Fonamental.
5. Teoria de Galois d'equacions.
Polinomis resolubles per radicals i grups resolubles.
Extensions ciclotòmiques i cícliques.
Teorema de Galois de resolubilitat per radicals.
Polinomis amb grup de Galois S_p, amb p primer.
6. Un exemple particular de cos: Punts construïbles amb regle i compàs.
L'assignatura disposa de dues hores de classe de teoria i una de problemes durant 15
setmanes del curs. També hi ha 3 sessions de seminaris de dues hores que es
realitzaran durant 3 setmanes del semestre. Es recomana fortament l'assistència tant a les classes de teoria, a
les de problemes i als seminaris.
A les classes de teoria donarem les eines necessàries i més importants per a la comprensió i resolució de
problemes.
A les classes de problemes s'aprofundirà en l'assimilació i millor comprensió dels conceptes desenvolupats a
les classes teòriques mitjançant la resolució de problemes i exercicis. Aquest treball es durà a terme
mitjançant les explicacions fetes pel professor a la pissarra i la participació activa dels estudiants en la
discussió dels diferents arguments emprats per tal de solucionar els problemes.
Als seminaris, l'alumne pren part activa de diversa forma. Hi ha tres sessions de seminari i, en general, estaran molt enfocats al càlcul d'exemples.
Aquesta assignatura també oferirà recursos mitjançant el Campus Virtual. En aquest anirem penjant els
enunciats de les llistes de problemes i altre material que pugui complementar les classes de teoria,
problemes i seminaris.
Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
---|---|---|---|
Tipus: Dirigides | |||
Classe de seminaris | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Classes de problemes | 15 | 0,6 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Classes de teoria | 30 | 1,2 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Tipus: Autōnomes | |||
Estudi de teoria | 27 | 1,08 | 1, 4, 5, 6, 8, 9 |
Preparaciķ d'exāmens | 16 | 0,64 | 1, 4, 6, 8, 9 |
Preparaciķ de seminaris | 10 | 0,4 | 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9 |
Realitzaciķ de problemes | 40 | 1,6 | 1, 2, 4, 6, 8, 9 |
L'avaluació de l'assignatura es farà de la manera següent:
Un 35% de la nota correspondrà a la realització d'un examen parcial.
Un 15% de la nota correspondrà a lliuraments de problemes i/o pràctiques.
Un 50% de la nota correspondrà a la realització d'un examen final.
Hi haurà un examen de recuperació, que permetrà recuperar la nota dels exàmens parcials. Per tal que un alumne es pugui presentar a aquest examen, caldrà haver-se presentat als examens parcials (primer i segon).
Qualificació de No Avaluable. Un alumne es considera no avaluable tant sols quan compleix tots els requisits
següents:
no es presenta a l'examen de gener-febrer,
no es presenta a l'examen de recuperació de febrer.
Matrícules: Després de l'examen final s'atorgaran les matrícules d'honor que es considerin clares. Aquestes matrícules d'honor seran ja definitives. Si el nombre màxim de matrícules permès no s'ha assolit, es reconsiderarà la possibilitat d'atorgar-ne més després de l'examen de recuperació, en el que els estudiants poden millorar la seva nota de curs.
Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
---|---|---|---|---|
Examen | 50% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 |
Presentaciķ exercicis | 15% | 1 | 0,04 | 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Prova intersemestral | 35% | 2 | 0,08 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 |
F.Bars, Teoria de Galois en 30 hores, http://mat.uab.cat/~francesc/docencia2.html
David A. Cox, Galois Theory. Hoboken : Wiley-Interscience, cop. 2004 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=0471434191/summary.html&client=autbaru&type=rn12
D. S. Dummit, M. R. Foote, Abstract Algebra, Wiley, 2004.
D.J.H. Garling. A course in Galois Theory. Cambridge Univ. Press, 1986.
J. Milne. Fields and Galois Theory, http://www.jmilne.org/math/
P. Morandi. Fields and Galois Theory. GTM 167, Springer.
S. Roman. Field Theory. GTM 158, Springer.
Ian Steward "Galois Theory" Chapman & Hall / CRC, 2004 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=1584883936/summary.html&client=autbaru&type=rn12
Bibliografia complementària:
Michael Artin, "Algebra" Prentice Hall, cop. 2011 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=9780132413770/summary.html&client=autbaru&type=rn12
T. Hungerford, "Algebra" New York : Springer-Verlag, cop. 1974 http://syndetics.com/index.aspx?isbn=0387905189/summary.html&client=autbaru&type=rn12
Jean-Perre Tignol, "Galois' Theory of Algebraic Equations". World Scientific 2001
A. M. de Viola Priori, J.E. Viola-Priori. Teoría de cuerpos y Teoría de Galois. Reverté (2006).
Una versió novelada de la vida de Galois:
Josep Pla i Carrera. Damunt les espatlles de gegants. 1ra Edició: Editorial la Magrana. 2na Edició: Edicions FME http://www.fme.upc.edu/ca/arxius/damunt-les-espatlles-dels-gegants_jpla
Algunes webs d'interès:
http://www.galois-group.net
http://godel.ph.utexas.edu/~tonyr/galois.html
htpp://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Galois.html
Curiositats origami: Robert J. Lang: http://www.langorigami.com
Tom Hull: http://www.merrimack.edu/thull/~omfiles/geoconst.html
Koshiro Hatori: http://origami.ousaan.com/library/conste.html
http://www.langorigami.com/science/mathlinks/mathlinks.php4.