Logo UAB
2020/2021

Equacions diferencials i modelització II

Codi: 100101 Crèdits: 6
Titulació Tipus Curs Semestre
2500149 Matemàtiques OB 3 2
La metodologia docent i l'avaluació proposades a la guia poden experimentar alguna modificació en funció de les restriccions a la presencialitat que imposin les autoritats sanitàries.

Professor/a de contacte

Nom:
Jaume Llibre Saló
Correu electrònic:
Jaume.Llibre@uab.cat

Utilització d'idiomes a l'assignatura

Llengua vehicular majoritària:
català (cat)
Grup íntegre en anglès:
No
Grup íntegre en català:
Grup íntegre en espanyol:
No

Prerequisits

Anàlisi amb una i varies variables, Àlgebra lineal i Equacions diferencials i modelització I.

Objectius

Aquesta assignatura és la segona part d’un curs d’introducció a les equacions diferencials. Igual que l’assignatura Equacions Diferencials i Modelització I, té una vessant teòrica (que es treballarà a les classes de teoria i de  problemes) i una vessant aplicada, que s’introduirà a les classes de teoria i que es practicarà tant a classes de problemes com a les classes pràctiques. Es tracta de que els alumnes coneguin i sàpiguen utilitzar els conceptes de la teoria qualitativa d’equacions diferencials ordinàries al pla i que tinguin coneixement de les equacions en derivades parcials mes paradigmàtiques. Aquest semestre aplicarem molts dels resultats establerts i estudiats a  l’assignatura d'EDO I al mateix temps que introduirem noves eines per l’estudi de les equacions diferencials esmentades.

 

Competències

  • Distingir, davant d'un problema o situació, el que és substancial del qual és purament ocasional o circumstancial.
  • Formular hipòtesis i imaginar estratègies per confirmar-les o refutar-les.
  • Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bàsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats
  • Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat

Resultats d'aprenentatge

  1. Estudiar el comportament de les solucions de sistemes d'equacions diferencials en funció dels paràmetres que els defineixen.
  2. Extreure informació qualitativa sobre la solució d'una equació diferencial ordinària, sense necessitat de resoldre-la.
  3. Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
  4. Saber dibuixar retrats de fase senzills de sistemes d'equacions diferencials en el pla.

Continguts

L’assignatura està estructurada en dos temes. El primer tracta sobre teoria qualitativa de equacions diferencials ordinàries, amb especial èmfasi en els  sistemes autònoms al pla. És una introducció del que després és podrà aprofundir  a l’assignatura optativa de Sistemes dinàmics. El segon és un curs d’introducció a les equacions en derivades parcials  i també té una continuïtat en l’optativa d’Equacions en derivades parcials.

 

3.1 Sistemes autònoms al pla. 

  • 3.1.1. Sistemes autònoms a R^n. Interpretació geomètrica. Estructura de les òrbites. Integrals primeres. Superfícies invariants.  Retrat de fase i conjugació.
  • 3.1.2. Sistemes integrables. Retrat de fase de sistemes integrables al pla: sistemes potencials, sistemes Hamiltonians, el model de Lotka-Volterra.
  • 3.1.3. Sistemes no integrables: teorema del flux tubular, anàlisi qualitativa dels punts d’equilibri, comportament límit de les òrbites, Teorema de Bendixson-Poincaré,  funcions de Liapunov. Cicles límit. Criteri de Bendixon-Dulac. Models a l’ecologia. Sistema de van der Pol.

 

3.2  Equacions en derivades parcials de primer ordre.

  • 3.2.1. Introducció a les equacions en derivades parcials.
  • 3.2.2.  Equacions lineals i quasi-lineals de primer ordre.

 

3.3  Equacions en derivades parcials de segon ordre.

  • 3.3.1. Equacions de la corda infinita. Principi de d’Alembert. Problemes de contorn.
  • 3.3.2. L’equació de la calor. Problema de la barra infinita.
  • 3.3.3. Separació de variables i sèries de Fourier.
  • 3.3.4.  L’equació de Laplace.

 

Metodologia

Es faran tres tipus d’activitats presencials: classes teòriques, classes de problemes i classes pràctiques.

 

A les classes de teoria el professor, motivarà el temes d’estudi, explicarà la matèria  i inclourà exemples motivadors.

 

A les classes de problemes, el professor  exposarà  les solucions d’alguns problemes representatius que els alumnes ja hauran tingut temps de treballar prèviament i també fomentarà la participació activa dels estudiants.  Les llistes de problemes contindran més problemes que els  resolts  a classe.

 

A les tres classes pràctiques s’estudiaran amb més detall tres temes  del curs. Cada alumne haurà d’entregar obligatòriament i per escrit (més tard del dia de la pràctica)  problemes relacionats amb la mateixa.

 

Totes aquestees activitats es poden veure alterades per les normatives que vinguin motivades pel covid19.

 

Activitats formatives

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Tipus: Dirigides      
Classes de teoria 30 1,2
Problemes 15 0,6
Tipus: Supervisades      
Classes pràctiques 6 0,24
Tipus: Autònomes      
Estudi personal 88 3,52

Avaluació

 Avaluació continuada:

  • Lliurament obligatori de pràctiques. Diem P  la nota sobre 10 obtinguda pels lliuraments. És una activitat no recuperable.
  • Un primer examen parcial a mig curs. Diem  E1  la nota obtinguda sobre 10.
  • Un segon examen parcial a finals de curs. Diem  E2  la nota obtinguda sobre 10.

Avaluació recuperable:

Un examen de tot el curs amb nota EF, també sobre 10.

Qualificació del curs:

Nota de curs, aplicable si P>=4:   NC= (4 E1+4 E2+ 2P)/10

El 80% de la nota  es podrà recuperar a l'examen final (EF). En aquest cas, si P>=4, la nota del curs serà ( 8EF+ 2P)/10

Les possibles matrícules d'honor seran atorgades a partir de la nota de curs. No es concediran matrículers d'honor en la recuperació de l'assignatura.

En cas que no es pugues fer el curs presencialment, aleshores els dilluns de cada setmana els alumnes rebran per e-mail els apunts i exercices a estudiar i fer durant aquella setmana, i els divendres rebran els exercicis results. I l'avaluació de l'assignatura és fera fents els examens parcials i finals per internet.

 

 

Activitats d'avaluació

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Examen final 80% 4 0,16 1, 2, 3, 4
Lliurament de pràctiques 20% 0 0 1, 2, 3, 4
Primer examen parcial 40% 3 0,12 1, 2, 3, 4
Segon examen parcial 40% 4 0,16 1, 2, 3, 4

Bibliografia

El  textos bàsics  per a la primera part del curs seran

 

“Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y àlgebra lineal”, Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Alianza Universidad Textos, Madrid, 1983.

.“Equaçoes Diferenciais Ordinarias”, J. Sotomayor.

“Qualitative Theory of Planar Differential Systems”, Freddy Dmortier, Jaume Llibre Joan C. Artés, Universitext, Springer, 2006.

 

Per al segon tema:

“Primer curso de ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES”, Ireneo Peral, UAM, Madrid, 1995. (pdf accessible a la plan web del professor)

 “EDP, um curso de graduaçao”, Valéria Iório, IMPA, Brasil, 2001.

 

Com a bibliografia complementària dels dos temes proposem:

“Models amb Equacions Diferencials”, R. Martínez. Materials de la UAB no. 149. Bellaterra, 2004

“Equaçoes Diferenciais: Teoria Qualitativa”, L. Barreira i C. Valls, IST Press Lisboa 2010.

“Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional “,  Lev Elsgoltz, Mir, Moscou, 1983.

“Apunts d’Equacions Diferencials”, d’en  Francesc Mañosas, UAB (accessible via el Campus Virtual)

“Ecuaciones diferenciales”, V. Jimenez. Serie: enseñanza. Universidad de Murcia, 2000.

Análise de Fourier e equaçoes diferenciais parciais”, Djaro guedes de Figueiredo, IMPA, Brasil, 2000.

“Càlcul Infinitesimal amb Mètodes Numèrics iAplicacions”, C. Perelló. Enciclopèdia Catalana, 1994.

“Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera” ,,E. Boyce, y 

R.C. Di  Prima,  Ed. Limusa, México, 1967.

“Partial Differential Equations”, Lawrence C. Evans, GSM 19, AMS, Providence, 1991.

“Partial Differential Equations, An Introduction”,  Walter Strauss,  Wiley, New York, 1992.