Ecuaciones diferenciales y modelización I
Código: 100100 Créditos ECTS: 9| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OB | 3 | 1 |
Contacto
- Nombre:
- Magdalena Caubergh
- Correo electrónico:
- Magdalena.Caubergh@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- catalán (cat)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- Sí
- Algún grupo íntegramente en español:
- No
Equipo docente
- Joan Carles Artés Ferragud
Prerequisitos
Álgebra lineal
Cálculo con varias variables y optimización
Objetivos y contextualización
La teoría de Ecuaciones Diferenciales (EDs) se distingue tanto por la riqueza de ideas y métodos como por su aplicabilidad. Así la asignatura Ecuaciones Diferenciales y Modelización I tiene una parte teórica (que se trabajará en las clases de teoría y de problemas) y una parte muy aplicada, que se introducirá en las clases de teoría y que se practicará tanto a clases de problemas como las clases prácticas que se realizarán en el laboratorio de informática. Por un lado haremos énfasis en la presentación de la teoría y en la demostración de los resultados y por otro lado los alumnos aprenderán a modelar situaciones reales que les permitan predecir los comportamientos estudiados.
A nivel formativo pensamos que esta asignatura es buena para mostrar a los alumnos que ciertos resultados teóricos que ya conocen de otras materias (propiedades topol·lògiques los espacios normados y Teorema de la forma canónica de Jordan, por ejemplo) se aplican a la hora de fundamentar la teoría de ecuaciones diferenciales para finalmente poder dar respuesta a preguntas motivadas por problemas aplicados que vienen regidos por modelos deterministas.
Competencias
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Reconocer la presencia de las Matemáticas en otras disciplinas.
- Trabajar en equipo.
- Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
Resultados de aprendizaje
- Aplicar los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y algunas ecuaciones en derivadas parciales sencillas.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.
- Trabajar en equipo.
- Traducir algunos problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.
Contenido
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden en una variable.
1.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales. Métodos de resolución: ecuaciones separables, lineales, exactos, factores integrantes. Cambio de variable.
1.2 Aplicaciones: Desintegración radiactiva, problemas de mezclas, modelos de poblaciones, etc.
2. Ecuaciones lineales.
2.1 Propiedades generales de las ecuaciones diferenciales lineales: Existencia y unicidad de soluciones para el problema de Cauchy, estructura del espacio de soluciones de las ecuaciones lineales, matrices fundamentales.
2.2 Sistemas de ecuaciones lineales a coeficientes constantes: Exponencial de una matriz. Cálculo de la exponencial de las matrices canónicas de Jordan. El caso no homogéneo.
2.3 La ecuación lineal de orden n: Propiedades generales. Las ecuaciones homogéneas a coeficientes constantes. Cálculo de soluciones particulares para la no homogénea.
2.4 La ecuación lineal de orden 2: Sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, oscilaciones periódicas forzadas. El fenómeno de la resonancia.
3. Los Teoremas Fundamentales.
3.1 El espacio de funciones continuas y acotadas sobre un espacio topológico: Existencia y unicidad de soluciones, intervalo máximo de las soluciones, estructura del espacio de soluciones, matrices fundamentales.
3.2 Teoremas de Picard y de Peano: Funciones localmente lipschitzianes. Existencia y unicidad locales. Stone-Weierstrass y demostración de Peano.
3.3 Prolongación de soluciones: Existencia y unicidad de soluciones improrogables para problemas con existencia y unicidad de soluciones. El Lema de Wintner.
3.4 Dependencia continua y diferenciable de las solucionesrespecto de condiciones iniciales y parámetros: Enunciado de los teoremas y ejemplos.
4. Teoría cualitativa de sistemas autónomos.
4.1 Sistema dinámico inducido por una ecuación diferencial autónoma. Puntos críticos y órbitas periódicas. Estabilidad. Equivalencia y conjugación.
4.2 Teorema del flujo tubular. Teorema de Hartman.
4.3 Estudio cualitativo de las ecuaciones lineales.
Metodología
En el proceso de aprendizaje de la materia es fundamental el trabajo del alumno, quien en todo momento dispondrá de la ayuda del profesor.
Distinguimos entre tres tipos de actividades dirigidas:
Clases de Teoría: El profesor introduce los conceptos básicos correspondientes a la materia de la asignatura mostrando ejemplos, propiedades y resultados fundamentales de su aplicación. El alumno deberá complementar las explicaciones del profesor
con el estudio personal.
Clases de Problemas: Se trabaja la comprensión y aplicación de los conceptos y herramientas introducidos en teoría, con la realización de ejercicios teóricos y / o prácticos. Es bien sabido que la única manera de aprender matemáticas es haciendo muchos y muchos problemas.
Por esta razón pensamos que el alumno debe dedicar un mínimo de 5 horas a la semana a la resolución de problemas de esta asignatura. El alumno dispondrá de listas de problemas, que debe pensar, intentar resolver y sobre los que se trabajará en las clases de problemas. Se pide una entrega de problemas para cada tema a fin de garantizar que este trabajo se hace de manera continuada.
Prácticas de ordenador: en cada sesión se trabajará con una forma de ecuación diferencial diferente para modelizar una situación real y predecir comportamientos futuros dependiendo de parámetros.
Los ejercicios que aparecen en las listas de problemas o prácticas y que no se ha terminado en la sesión deberá resolverlos el alumno como parte de su trabajo autónomo.
En la página web Moodle Aulas de la asignatura se colgará los apuntes de Teoría, las listas de Problemas y de Prácticas; también se cuelga semanalmente un resumen de las clases de Teoría y Problemas.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de teoria | 30 | 1,2 | |
| Prácticas de modelización | 12 | 0,48 | |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Clases de problemas | 30 | 1,2 | |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio de la teoria y resolución de problemas | 114 | 4,56 |
Evaluación
Un 45% de la asignatura se evaluará de manera continuada.
Evaluación continua:
- 1 prueba al final de 2-3 prácticas (9%) y un examen final (9%).
- 5 entregas de problemas (1 para cada tema)
- 1 examen parcial que contará un 27%.
Evaluación recuperable:
- 1 examen final que contará un 50%.
- La recuperación del examen final contará un 50%
Es imprescindible sacar un mínimo de un 4 en el examen final para poder hacer la media ponderada que hemos explicado.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Entegra de problemas | 5% | 12 | 0,48 | 1, 2, 4, 5, 7, 6 |
| Entrega de prácticas | 9% | 12 | 0,48 | 3, 4, 5, 7, 6 |
| Examen final | 50% | 4 | 0,16 | 1, 2, 4, 5, 7 |
| Exámen de prácticas | 9% | 3 | 0,12 | 3, 4, 5, 7 |
| Exámen de repesca | 50% | 4 | 0,16 | 1, 2, 4, 5, 7 |
| Exámen parcial | 27% | 4 | 0,16 | 1, 2, 4, 5, 7 |
Bibliografía
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