Mètodes numèrics
Codi: 100097 Crèdits: 12| Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OB | 2 | 2 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Armengol Gasull Embid
- Correu electrònic:
- Armengol.Gasull@uab.cat
Utilització d'idiomes a l'assignatura
- Llengua vehicular majoritària:
- català (cat)
- Grup íntegre en anglès:
- No
- Grup íntegre en català:
- Sí
- Grup íntegre en espanyol:
- No
Equip docent
- Susana Serna Salichs
Prerequisits
Com a coneixements previs, es pressuposen: els resultats fonamentals de continuïtat, derivabilitat i integrabilitat de funcions reals en una i diverses variables, fonaments d'àlgebra lineal i càlcul matricial, nocions bàsiques sobre algorismes i el llenguatge de programació C. Aquests coneixements són contingut de les assignatures Àlgebra lineal, Funcions de variable real, Eines informàtiques per a les matemàtiques, de primer curs, i de l'assignatura Càlcul en diverses variables, del primer semestre de segon curs.
Objectius
La ciència i la tecnologia es recolzen en models matemàtics de fenòmens reals, desenvolupats amb finalitats predictives. Un mínim de realisme dóna lloc a models difícilment resolubles de forma totalment analítica. Una de les maneres d'estudiar-los és mitjançant el càlcul de solucions aproximades. L'estudi de tècniques (mètodes numèrics) per a l'obtenció d'aquestes aproximacions és l'objectiu de l'anàlisi numèrica, de la qual aquesta assignatura n'és una introducció. Els mètodes numèrics precisen d'un esforç de càlcul depenent de la complexitat del model i la precisió desitjada. D'acord amb els estandards d'avui en dia, aquest esforç de càlcul fa indispensable l'ús d'ordinadors.
L'objectiu de l'assignatura es doble. Per una banda té un aspectes formatius purament matemàtics que comparteix amb les altres assignatures del grau. A més vol preparar els estudiants per resoldre els problemes de tipus numèric que pugin trobar a la seva pràctica professional. Aixó implica tant el coneixement precís dels diversos mètodes i la seva idoneïtat en diverses situacions com la destresa en la seva aplicació a la resolució de problemes concrets amb l'ajuda d'un ordinador.
Competències
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Calcular, reproduir determinades rutines i processos matemàtics amb agilitat
- Davant de situacions reals amb un nivell mig de complexitat, demanar i analitzar dades i informació rellevants, proposar i validar models utilitzant eines matemàtiques adequades per a, finalment, obtenir conclusions
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar aplicacions informàtiques d'anàlisi estadística, càlcul numèric i simbòlic, visualització gràfica, optimització o altres per experimentar en Matemàtiques i resoldre problemes
Resultats d'aprenentatge
- Analitzar la conveniència d'un o un altre mètode numèric per a un problema concret.
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Avaluar els resultats obtinguts i obtenir conclusions després d'un procés de còmput.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Implementar algoritmes en un llenguatge de programació estructurada.
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Usar algoritmes de resolució numèrica, programar en ordinador mètodes numèrics i aplicar-los de manera efectiva.
- Utilitzar el formalisme matemàtic per al disseny i verificació de programes informàtics.
Continguts
1.– Errors.
Representació de números reals. Aritmètica de punt flotant i fórmula de propagació d'errors. Algorismes estables i inestables. Problemes ben i mal condicionats.
2.– Zeros de funcions.
Mètodes de la bisecció, de Newton i de la secant. Mètodes de punt fix. Ordre de convergència i eficiència. Mètodes de Newton i de Txebishev. Acceleració de la convergència. Localització d'arrels de polinomis: Regla de Descartes, mètode d'Sturm, arrels complexes.
3.– Interpolació polinòmica.
Existència i unicitat del polinomi interpolador. Polinomi de Lagrange, algorisme de Neville, diferències dividides de Newton. Interpolació d'Hermite generalitzada. Fórmules de l'error. Interpolació per splines.
4.– Diferenciació i integració numèrica.
Derivació numèrica. Extrapolació de Richardson. Fórmules d'integraci ó interpol.lacio, fórmules tancades de Newton–Côtes, regles compostes. Mètode de Romberg.
5.– Sistemes lineals.
Sistemes triangulars. Mètode de Gauss. Estratègies de pivotatge. Factorització LU. Càlcul de determinants i inverses de matrius. Sistemes mal condicionats. Mètodes iteratius clàssics. Mètode de la potència.
Metodologia
Les classes de problemes consistiran en la resolució de problemes a la pissarra amb participació activa dels estudiants.
Es proposaran varies pràctiques durant el curs. Cada pràctica contindrà un guió, d'acord amb el qual s'haurà d'entregar un informe, que serà la base per la puntuació de la pràctica, juntament amb el codi elaborat en C. Oportunament s'anirà anunciant el termini d'entrega de cada pràctica. Les sessions pràctiques tindran lloc a una aula d'informàtica de la facultat, i es dedicaran a la resolució de dubtes relacionats amb la realització de cada pràctica. No s'espera que els alumnes acabin les pràctiques durant les sessions pràctiques, sinó que hi hauran de dedicar temps d'estudi personal.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problemes | 30 | 1,2 | |
| Classes de teoria | 45 | 1,8 | |
| Tipus: Supervisades | |||
| Classe de pràctiques d'ordinador | 28 | 1,12 | |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi personal | 187 | 7,48 |
Avaluació
Hi haurà quatre notes per a avaluar el curs:
- Primer examen parcial (EP1). S'hauran de resoldre problemes similars als treballats durant les classes de problemes i algunes questions teòriques.
- Segon parcial (EP2). S'hauran de resoldre problemes similars als treballats durant les classes de problemes i algunes questions teòriques.
- És requisit indispensable per superar l'assignatura que la qualificació dels exàmens EP1 i EP2 sigui igual o superior a 3.5 sobre 10.
- Nota de pràctiques (Prac). Les pràctiques s'hauran de lliurar al llarg del curs, amb terminis que s'anunciaran oportunament. És requisit indispensable per superar l'assignatura que la qualificaci ó de pràctiques sigui igual o superior a 3.5 sobre 10.
- Examen de recuperació. Es recuperaran conjuntament els dos examens parcials amb un únic examen.
La qualificació final de juny (QFJ) s'obtindrà mitjançant la fórmula,
QFJ := (35EP1 + 35EP2 + 30Prac)/100
Els estudiants que obtinguin Prac>=3.5, EP1>=3.5, EP2>=3.5 i QFJ>=5 hauran superat l'assignatura.
Per als alumnes que no aprovin per qualificació de curs, hi haurà un examen de recuperació el mes de juliol sobre tota la materia del curs. A partir de la seva qualificació, sobre 10, diguem-li EF, es recalcularà la qualificació de curs canviant 35EP1+35EP2 per 70EF. És requisit indispensable per superar l'assignatura que la qualificació de l'examen EF sigui igual o superior a 3.5 sobre 10.
El criteri per a poder obtenir la qualificació de “no avaluable” és: es consideraran presentats tots els estudiants que lliurin 2 pràctiques o es presentin a algun dels exàmens parcials (EP1) o (EP2).
Les matrícules d'honor que siguin clares s'atorgaran un cop avaluats els exàmens EP1 i EP2.
Activitats d'avaluació
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Examen de recuperació | 0.7 | 4 | 0,16 | 2, 6, 7 |
| Lliurament de pràctiques | 0.3 | 0 | 0 | 1, 2, 3, 5, 8, 9, 10 |
| Primer examen parcial | 0.35 | 3 | 0,12 | 1, 2, 4, 6, 7 |
| Segon examen parcial | 0.35 | 3 | 0,12 | 1, 2, 4, 6, 7 |
Bibliografia
Referències bàsiques:
- J.M. Mondelo: Apunts de Mètodes Numèrics, Curs 2008-09. Accessibles a traves del Campus Virtual.
- A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams: Eines bàsiques de càlcul numèric, Manuals de la UAB 7, Publ. UAB, 1991.
- R. Burden, J.D. Faires: Numerical analysis, 6a ed., Brooks/Cole, 1997. En castellà: Análisis numérico, 6a ed., International Thomson, 1998.
Altres referències:
- M. Grau, M. Noguera: Càlcul numèric, Edicions UPC, 1993.
- D. Kincaid, W. Cheney: Numerical analysis, 2a ed., Brooks/Cole, 1996. En castellà: An´alisis numérico, Addison–Wesley Iberoamericana, 1994.
- P. Henrici: Elements of numerical analysis, Wiley, 1964. En castellà: Elementos de anàlisis numérico, Trillas, 1968.
- G. Dahlquist, A Björk: Numerical methods, Prentice Hall, 1964.
- E. Isaacson, H.B. Keller: Analysis of numerical methods, Wiley, 1966.
- J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to numerical analysis, 2a ed., Springer, 1993.
Programació:
- B. Kernighan and D.M. Ritchie: The C programming language, 2a ed., Prentice–Hall 1998. En castellà: El lenguaje de programación C, Prentice–Hall Hispanoamericana, 1991.
- B.W. Kernighan, R. Pike: The practice of programming, Addison–Wesley 1999. En castellà: La pràctica de la programación, Pearson Educación, 2000.