Cālcul en diverses variables i optimitzaciķ
Codi: 100093 Crčdits: 9| Titulaciķ | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemātiques | OB | 2 | 1 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Joan Verdera Melenchķn
- Correu electrōnic:
- Joan.Verdera@uab.cat
Utilitzaciķ d'idiomes a l'assignatura
- Llengua vehicular majoritāria:
- catalā (cat)
- Grup íntegre en anglčs:
- No
- Grup íntegre en catalā:
- Sí
- Grup íntegre en espanyol:
- No
Equip docent
- Josep Maria Burgués Badía
- Joan Josep Carmona Domčnech
- José González Llorente
- Laura Prat Baiget
Prerequisits
Per tal que l'estudiant pugui cursar l'assignatura amb aprofitament és molt important que hagi superat l'assignatura de Càlcul Infinitesimal de primer curs. Si aquest no és el cas, és imprescindible que, com a mínim, entengui profundament les nocions de convergència de successions així com els de continuïtat, derivabilitat i integrabilitat de funcions. També és molt important que l'estudiant tingui destresa en la manipulació de límits, regles de diferenciació i integració, el teorema fonamental del càlcul, desenvolupaments de Taylor de funcions elementals, etc.
Objectius
Els objectius de l'assignatura són conèixer les tècniques bàsiques del càlcul diferencial i integral en diverses variables i els conceptes més importants de l'anàlisi vectorial.
A la primera part del curs l'estudiant ha de familiaritzar-se primer amb l'espai euclidià i la seva estructura mètrica i topològica. Seguidament, el concepte clau és el de diferencial com a aproximació lineal de l'increment i les aproximacions millors, en termes de diferencials d'ordre superior, i com el comportament d'aquestes aproximacions es tradueixen en propietats locals de la funció. De la mateixa manera que en el cas d'una variable, les tècniques del curs s'aplicaran a la resolució de diferents problemes matemàtics o de la vida real com ara problemes geomètrics, d'optimització, etc.. L'estudiant també ha de familiaritzar-se amb els conceptes geomètrics de corbes i superficies regulars, plans tangents, etc.
La segona part del curs, més instrumental, està dedicada al càlcul d'integrals múltiples i al càlcul vectorial, amb especila èmfasi en els resultats clàssics com el canvi d'ordre d'integració, el teorema del canvi de variables i les formules de Green i Stokes.
Competčncies
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Calcular, reproduir determinades rutines i processos matemātics amb agilitat
- Comprendre i utilitzar el llenguatge matemātic
- Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bāsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
- Utilitzar aplicacions informātiques d'anālisi estadística, cālcul numčric i simbōlic, visualitzaciķ grāfica, optimitzaciķ o altres per experimentar en Matemātiques i resoldre problemes
Resultats d'aprenentatge
- Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
- Contrastar els coneixements teōric-prāctics adquirits.
- Cončixer els resultats bāsics del Cālcul Diferencial en diverses variables reals.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupaciķ per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un ārea d'estudi que parteix de la base de l'educaciķ secundāria general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avanįats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants sāpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocaciķ d'una forma professional i posseeixin les competčncies que solen demostrar-se per mitjā de l'elaboraciķ i defensa d'arguments i la resoluciķ de problemes dins de la seva ārea d'estudi.
- Saber aplicar els teoremes de la Funciķ Inversa i de la funciķ implícita a problemes concrets.
- Utilitzar les eines algebraiques en diferents āmbits
Continguts
1. Càlcul diferencial de diverses variables:
- Nocions geomètriques i topològiques bàsiques a l'espai euclidià. Límits i continuïtat. Gràfiques i conjunts de nivell.
- Diferenciabilitat. Propietats bàsiques. Derivades parcials i derivades direccionals.. Extrems relatius
- Derivades d'ordre superior. Fórmula de Taylor. Anàlisi dels punts crítics: criteris d'extrems relatius.
- Teorema de la funció inversa. Canvis de coordenades.
- Teorema de la funció implícita. Interpretació geomètrica, corbes i superficies.
- Extrems condicionats. Multiplicadors de Lagrange
2. Integració
- Integral de Riemann de funcions contínues en rectangles.
- Teorema de Fubini.
- Integració sobre conjunts generals.
- Teorema del canvi de variable. Significat del jacobià.
- Element de longitud i area, càlcul en coordenades. Integració sobre corbes i superficies.
3. Anàlisi vectorial
- Circulació i flux d'un camp vectorial.
- Divergència i rotacional d'un camp vectorial. Camps conservatius i solenoidals.
- Teoremes de Green, de la divergència i de Stokes.
-Fluids
Metodologia
L'assignatura disposa, al llarg del curs acadèmic de tres hores de classe de teoria, una hora de problemes i dues hores de seminari (en setmanes alternes) a la setmana. Es recomana fortament l'assitència a aquestes sessions.
S'obrirà una aplicació d'aquesta assignatura al Campus Virtual de la universitat per tal de subministrar tot el material i tota la informació relativa a aquesta assignatura que li calgui a l'estudiant.
Periòdicament, l'estudiant rebrà unes llistes de problemes que ha de pensar i sobre els quals es treballarà a les classes de problemes.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classe de problemes | 13 | 0,52 | |
| Classe de teoria | 39 | 1,56 | |
| Seminari | 13 | 0,52 | |
| Tipus: Autōnomes | |||
| Estudi de teoria | 53 | 2,12 | |
| Resoluciķ de problemes | 95 | 3,8 |
Avaluaciķ
Es realitzara una avaluació continuada consistent en un examen parcial (P) i dos seminaris (S1,S2) obligatoris. Al final del curs hi haurà un examen final i un examen de recuperació.
La qualificacio s'obté en dues etapes. Designem per P, S, F, R , respectivament, les qualificacions de l'examen parcial, la mitjana dels seminaris S1,S2, l'examen final i el de recuperació, totes sobre 10.
Primera convocatòria. Amb P, F computem la nota d'examens NE=max(F; (0,6)F+(0,4)P). La qualificació a la primera convocatòria és C1=(0,80)NE+(0,20)S
Segona convocatòria. Els alumnes que no han superat la primera convocatòria i hagin fet els dos seminaris, i els que volen millorar nota, es podran presentar a l'examen de recuperació. La qualificació C2 a la segona convocatòria és C2=(0,80) R+(0,20)S
Per als que es presenten a millorar nota, la qualificació final és (C1+C2)/2.
Activitats d'avaluaciķ
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Examen final | 48% | 4 | 0,16 | 3, 5, 7 |
| Examen parcial | 32% | 4 | 0,16 | 3, 5 |
| Seminaris | 20% | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 |
Bibliografia
- Cálculo Vectorial, J.E. Marsden y A.J.Tromba, Addison Wesley Longman. Recomanable que resolgueu alguns dels molts problemes que hi ha al final de cada secció. Per tant cal tenir-lo a mà durant el curs.
El seguirem de molt a prop per la part de Càlcul Integral i Vectorial. És un llibre que us serà útil sempre.
- Functions of several variables, Martin Moskowitz and Fotios Paliogiannis, World Scientific, 2011. És un llibre que s'adapta molt al contingut del curs i que seguirem de prop.
- Analysis II, Terence Tao, Hindustan Book Agency, Texts and readings in Mathematics 38, 2006. L'autor va guanayr la medalla Fields el 2006, així que és
interessant veure com presenta la matèria. Hi ha dos capítols sobre mesura de Lebesgue, bastant concisos. Un complement per als molt interessats. - Functions of several variables, Wendell Fleming, Undergraduate texts in Math, Springer. És un clàssic d'un nivell una mica per sobre del nostre. Us pot anar bé
per complementar i per veure una presentació del tema amb demostracions completes i un enfocament molt més teòric que el Marsden i Tromba. - Second year calculus, David Bressoud, Undergraduate texts in Math, Springer, 1991. És un llibre original que desenvolupa el càlcul vectorial a partir de la
física. El subtítol és : "From celestial mechanics to special relativity". - Notes de l'assignatura de Joan Verdera. També hi ha uns apunts de J.Bruna.