Procesos estocásticos
Código: 100116 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OT | 4 | 0 |
Contacto
- Nombre:
- Xavier Bardina Simorra
- Correo electrónico:
- Xavier.Bardina@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- catalán (cat)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- Sí
- Algún grupo íntegramente en español:
- No
Prerequisitos
Como requisitos generales, para poder seguir la asignatura, hace falta un buen conocimiento a nivel práctico de análisis y cálculo o, más concretamente, de integración y series. Como requisitos más específicos es necesario haber cursado previamente el curso de Probabilidad y Modelización Estocástica de tercer curso.
Objetivos y contextualización
El objetivo de esta asignatura es, por un lado, introducir al alumno en la parte de la teoría de la probabilidad llamada teoría de los procesos estocásticos, que tiene por objeto de estudio los fenómenos aleatorios que evolucionan en el tiempo o en el espacio. Veremos las generalidades básicas de estos modelos y estudiaremos algunos modelos concretos.
Se estudiarán con detalle las cadenas de Markov en tiempo discreto, en general y, como ejemplo principal, el caso del paseo aleatorio. Veremos también las cadenas de Markov en tiempo continuo como, por ejemplo, el proceso de Poisson o los procesos de nacimiento y muerte. Finalmente introduciremos también el movimiento Browniano.
Competencias
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Resultados de aprendizaje
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Idear demostraciones de resultados matemáticos del área de probabilidad y estadística.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Contenido
1. Cadenas de Markov a tiempo discreto.
1.1. Motivación: el paseo aleatorio.
1.2. Definiciones. Propiedades básicas. Matriz de transición.
1.3. Tiempo de paro. Propiedad fuerte de Markov.
1.4. Estados recurrentes y transitorios. Clases de equivalencia.
1.5. Comportamiento asintótico. Distribución invariante.
1.6. Teorema ergódico.
1.7. Más aspectos sobre el paseo aleatorio.
2. Cadenas de Markov a tiempo continuo.
2.1. Motivación: el proceso de Poisson.
2.2. Propiedades básicas. Matriz generadora. Estados recurrentes y transitorios.
2.3. Distribución invariante.
2.4. Teorema ergódico.
2.5. Más aspectos del proceso de Poisson.
3. El movimiento Browniano.
Metodología
Esta asignatura es cuatrimestral y consta de dos horas de teoría y una hora de problemas a la semana de clase presencial. Además habrá tres sesiones de seminarios de dos horas.
La introducción de conocimientos teóricos a la clase de teoría es fundamental para que el alumno pueda entender y alcanzar los fundamentos de la teoría de los procesos estocásticos que se introducen en esta asignatura. El conocimiento de las nociones introducidas en teoría, los enunciados de las proposiciones y teoremas, así como de los ejemplos de aplicación, son imprescindibles para que el alumno pueda, a la clase de problemas, resolver las cuestiones planteadas mediante una metodología similar. Se trabajará la estructura definición-teorema-demostración-aplicación, ya que es la forma que el alumno pueda entender y seguir los razonamientos de la teoría matemática que se está explicando, a la vez que pueda ver y entender qué papel juegan los diferentes elementos de que se dispone en las demostraciones de nuevos hechos matemáticos, así como las hipótesis que se necesita imponer. Naturalmente, se intenta estimular el espíritu crítico ante cualquier afirmación matemática, así como la intuición de la adecuación de los diferentes modelos matemáticos utilizados en las situaciones reales más diversas (físicas, biológicas, de economía, ...), gracias a la realización de problemas aplicados a diferentes áreas, donde la modelización juega un papel muy importante.
En las clases de problemas los estudiantes saldrán a la pizarra a resolver los problemas. La resolución de problemas será en todo momento supervisada por el profesor de problemas, que hará todos los comentarios que considereadecuados para completar una mejor comprensión del problema que se esté trabajando. También se tendrá cuidado de la expresión tanto oral como escrita de los alumnos. Por otra parte, en las sesiones de seminarios, el estudiante trabajará, bajo la tutela del profesor, algunas situaciones prácticas que estén relacionadas con lo estudiado en las clases de teoría. Estas sesiones permitirán también que, tanto profesor como alumno, puedan ser conscientes de la evolución en la consecución de los conceptos y métodos que se introducen en las clases de teoría.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 14 | 0,56 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Clases de teoría | 28 | 1,12 | 1, 3, 4, 6 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Seminarios | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio de la teoría y resolución de problemas | 64 | 2,56 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Preparación exámenes | 20 | 0,8 | 3, 4, 6 |
Evaluación
Durante el semestre se realizarán dos exámenes parciales. El primero tendrá lugar aproximadamente a la mitad del curso y el segundo se realizará al final del curso. La nota final de los exámenes, y, se obtendrá haciendo la media aritmética de las calificaciones de los dos parciales.
Durante todo el curso se propondrán problemas, tareas y kahoots que los alumnos de forma voluntaria pueden resolver y se les devolverán corregidos. Con estos problemas y tareas voluntarios los alumnos podrán obtener una nota x.
La nota final de la asignatura se obtendrá aplicando la siguiente fórmula:
N (x, y) = x + (1-0.1 · x) · y
Os remitimos al artículo Matemáticas y evaluación, Materials Matemàtics volumen 2011, de X. Bardina y E. Liz donde se explica detalladamente la fórmula.
En caso necesario, se programará un examen de recuperación el día establecido para la coordinación como examen final.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Examen de recuperación | 100% | 4 | 0,16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Primer examen parcial | (1-0.1·x)·5%(<50%) | 4 | 0,16 | 1, 3, 4, 5 |
| Problemas y entregas voluntarias | 10·x% | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Segundo examen parcial | (1-0.1·x)·5%(<50%) | 4 | 0,16 | 1, 3, 4, 5 |
Bibliografía
- Bardina, X. & Ferrante, M. An excursion into Markov chains. Springer, 2020.
- Breiman, L. Probability and Stochastic Processes: With a ViewToward Applications. Houghton Mifflin Company Boston, 1969.
- Brémaud, P. Markov Chains: Gibbs measures, Montecarlo simulation, and queues. Texts in Applied Mathematics. Springer, 1998.
- Feller, W. Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones, Vol I. John Wiley \& Sons, 1988.
- Karlin, S. & Taylor, M.H. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York, 1975.
- Karlin, S. & Taylor, M.H. A Second Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York, 1981.
- Lawler, G.F. Introduction to Stochastic Processes. Chapman and Hall/CRC Probability Series, 1995.
- Hoel, P.G., Port, S.C. & Stone, C.J. Introduction to Stochastic Processes. Houghton Mifflin Company, Boston, 1972.