Objetivos y contextualización

Ever since the concept of homeomorphism was clearly defined, the "ultimate" problem in topology has been to classify topological spaces ''up to homeomorphism". That this was a hopeless undertaking was very soon apparent, the subspaces of the plane R2 being an obvious example. From this impossibility were born algebraic and differential topology, by a shift of emphasis which consisted in associating "invariant" objects to some types of spaces (objects are the same for two homeomorphic spaces). At first these objects were integers, but it was soon realized that much more information could be extracted from invariant algebraic structures such as groups and rings.

(Jean Dieudonné, A history of algebraic and differential topology 1900--1960)

El objetivo de este curso es intrudcior algunos de las herramientas algebráicas más relevantes para el estudio y la clasificación de las variedades: la cohomología de de Rahm y el grupo fundamental. la cohomología de de Rahm, generalización natural del cálculo diferencial en Rⁿ, asocia a cada variedad una sucesión de espacios vectoriales de dimensión finita en la que se encuentran codificadas varias propiedades de la variedad: su dimensión, su orientabilidad, propiedades de orientabilidad superiores (estructuras spin, etc.). Además de introducir estos espacios presentaremos algunas de la herramientas utilizadas para extraer la información relevante de estos espacios.

Esto sera pues un primer vistazo a una teoría que va desarrollándose desde finales del siglo XIX y que continúa activa. Entre sus grandes logros se encuentran: la clasificación de las superficies, la demostración de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que 5, el problema del "invariante de Kervaire 1" y mas recientemente el desarrollo de técnicas topológicas para el análisis de datos.