Aritmètica
Codi: 100113 Crèdits: 6| Titulació | Tipus | Curs | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OT | 4 | 0 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Marc Masdeu Sabate
- Correu electrònic:
- Marc.Masdeu@uab.cat
Utilització d'idiomes a l'assignatura
- Llengua vehicular majoritària:
- català (cat)
- Grup íntegre en anglès:
- No
- Grup íntegre en català:
- Sí
- Grup íntegre en espanyol:
- No
Altres indicacions sobre les llengües
Part de la bibliografia pot ser en anglèsEquip docent
- Francesc Xavier Xarles Ribas
Prerequisits
És recomanable haver cursat totes les assignatures obligatòries d'àlgebra; concretament, per tal que un alumne pugui superar l'assignatura serà imprescindible tenir assumits els coneixements propis de l'assignatura Estructures Algebraiques.
Objectius
L'assignatura té com a objectiu ser una introducció als problemes aritmètics i, a la vegada, oferir una visió dels mètodes que intervenen en l'anàlisi i resolució d'aquests problemes. Donat que hi ha massa tipus de problemes en teoria de nombres com per a ser coberts en un curs d'aquestes característiques, el curs es basa principalment en els problemes diofàntics, i s'introdueix a partir d'aquests la teoria algebraica de nombres i la geometria aritmètica.
El curs es divideix en quatre parts: (I) Congruències i divisibilitat; (II) Corbes el·líptiques; (III) Llei de reciprocitat quadràtica; i (IV) Primalitat i factorització. El nexe d'unió de les quatre parts, i que pot servir de motivació encara que no sigui l'objectiu del curs, és l'aplicació que d’ells se n'ha fet a la criptografia.
En la primera part estudiarem resultats bàsics de congruències, i veurem les primeres aplicacions a la criptografia.
La segona part ladedicarem a les corbes el·líptiques, emfatitzant les aplicacions que s’ha fet a la factorització i a la criptografia.
En la tercera part introduirem la llei de reciprocitat quadràtica i les seves conseqüències.
La quarta part està dedicada a l'estudi d'algoritmes per determinar la primalitat d'enters, i per trobar factors no trivials d'enters compostos.
Contràriament al que alguns podrien creure, la teoria de nombres és una de les branques de les matemàtiques que més s'assembla a les ciències experimentals: el seu principal objecte d’estudi és una cosa tan concreta com els nombres, que coneixem i fem servir a diari. És per això que l’experimentació és un tret bàsic de la teoria de nombres, i això es reflecteix en el curs mitjançant l’ús d’eines informàtiques (principalment Sage) que permeten descobrir, entendre i resoldre molts fenòmens aritmètics.
Competències
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació
Resultats d'aprenentatge
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
- Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació
Continguts
I. Primers i congruències
- Divisibilitat
- Factorització d'enters
- Els enters mòdul n
- Mètodes efectius per inversos i exponenciació
- Diffie-Hellman i RSA
II. Corbes el·líptiques
- Definició i llei de grup
- Punts de torsió, punts racionals
- Corbes sobre cossos finits
- Criptografia amb corbes el·líptiques
- Comptatge de punts
III. La llei de reciprocitat quadràtica
- Residus quadràtics i el símbol de Legendre
- LRQ i demostració
- El símbol de Jacobi
- Aplicació: arrels quadrades mòdul p
IV. Primalitat i factorització
- Primalitat
- Algoritmes de factorització
- Rho de Pollard
- Bases de factors
- Fraccions continuades
- Algoritmes pel logaritme discret
Metodologia
Aquesta assignatura té dues hores setmanals de teoria. Encara que no s'ha fixat prèviament un conjunt d'apunts, hi ha una varietat interessant de referències bibliogràfiques; en certs moments del curs caldrà completar el contingut de les explicacions de classe amb consultes a bibliografia o a material proporcionat pel professor.
Hi haurà sessions dedicades a resoldre problemes. Cada alumne haurà de presentar un dels problemes de la llista resolt, per escrit i entregat al professor. Els dubtes que sorgeixin es poden preguntar durant la classe o a les hores de consulta dels professors. El treball sobre aquests problemes es recolza en els conceptes introduïts a classe de teoria, els enunciats dels teoremes, i les seves demostracions, ja que molt sovint les tècniques seran semblants.
En els seminaris es practicarà l'ús de SAGE per a resoldre un projecte.
A més, l'assignatura disposa d'una pàgina al "campus virtual" on s'aniran penjant les llistes de problemes, material addicional i qualsevol informació relacionada amb l'assignatura.
Activitats formatives
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de Teoria | 30 | 1,2 | 1, 2, 3, 4 |
| Tipus: Supervisades | |||
| Classes de Problemes | 14 | 0,56 | 1, 2, 3, 5 |
| Pràctiques | 6 | 0,24 | 2, 5 |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi de la teoria | 37 | 1,48 | 1, 4, 5 |
| Realització de problemes i pràctiques d'ordinador | 60 | 2,4 | 1, 2, 3, 4, 5 |
Avaluació
Durant el curs s'hauran d'entregar algun problema, que comptarà un 25% de la nota final. L’estudiant haurà de fer un programa d'ordinador en Sage que apliqui alguna tècnica explicada a classe, d'entre una serie de propostes fetes al primer mes de començar el curs, i que valdrà el 20% de la nota. Es farà també un treball i/o presentació oral, que contribuirà un 25% de la nota. La resta de la nota (30%) s'obtindrà d'un examen final on s'haurà de resoldre algun problema amb uns quants apartats.
Només es podrà recuperar l’examen final i/o el programa, sempre i quan la nota en cada part a recuperar hagi superat el 3,5 sobre 10. És important remarcar que, en cas de presentar-se a millorar nota, l’estudiant renuncia a la nota prèvia.
Activitats d'avaluació
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Entrega de problemes | 25% | 0 | 0 | 1, 2, 3, 4, 5 |
| Examen final | 30% | 3 | 0,12 | 1, 2 |
| Presentació oral | 25% | 0 | 0 | 1, 2, 3, 4, 5 |
| Programa | 20% | 0 | 0 | 1, 2, 3, 4, 5 |
Bibliografia
Principal
W. Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets, Springer-Verlag, Berlin, 2008.
J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, GTM7, Springer, 1973.
N.Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, GTM114, Springer, 1994.
Complementària
I.N. Stewart, D.O. Tall, Algebraic Number Theory, Chapman and Hall, 1979.
Z.I. Borevich y I.R. Shafarevich, Number Theory, Academic Press, 1966.
L.J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press, 1969.
J. Neukirch, Algebraic number theory, Springer-Verlag 1999.