Fundamentos de las matemáticas
Código: 100089 Créditos ECTS: 9| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OB | 1 | 1 |
Contacto
- Nombre:
- Rosa Camps Camprubí
- Correo electrónico:
- Rosa.Camps@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- catalán (cat)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- Sí
- Algún grupo íntegramente en español:
- No
Equipo docente
- Pere Ara Bertrán
- Laia Saumell Ariño
- Francesc Perera Domènech
- Wolfgang Pitsch
Prerequisitos
A parte de un buen conocimiento práctico de la aritmética entera y de la manipulación de expresiones algebráicas, no se requieren conocimentos matemáticos previos para esta asignatura. Eso sí, es imprescindible la voluntad de entender bien los razonamientos y e espíritu crítico frente a las afirmaciones matemáticas tanto de uno mismo como de los otros.
Objetivos y contextualización
En la primera parte del curso se introducirá el lenguaje básico de las matemáticas y dedicaremos mucha atención a su correcta utilización. Un buen dominio del lenguaje es imprescindible para entender, hacer y comunicar matemáticas. Las ideas son esenciales y el lenguaje poderoso, hasta el punto de que algunos problemas se resuelven una vez han sido correctamente formulados en el lenguaje adecuado. Seguir y reseguir, pensar y repensar las demostraciones, descubriendo y disfrutando de los detalles será parte importante del trabajo en todo este curso.
Especialmente a principio de curso haremos mucho énfasis en la estructura de una proposición matemática, en saber enunciar su negación, en distinguir la implicación recíproca de la contrarrecíproca, y en qué significa justificar que una afirmación és cierta (o falsa). Tanto en clase de teoría como de seminario y de problemas, se presentarán y se practicarán distintos métodos de demostración: directos y contrarecíprocos, por contradicción etc.
Competencias
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
- Calcular y reproducir determinadas rutinas y procesos matemáticos con agilidad.
- Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
Resultados de aprendizaje
- Adaptar razonamientos teóricos a nuevas demostraciones y situaciones.
- Adquirir formación básica para leer enunciados de resultados y sus demostraciones, distinguir situaciones en las que hace falta dar un contraejemplo.
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Comprender algunos métodos de demostración.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Entender el concepto básico de aplicación y saber aplicarlo.
- Entender las relaciones de equivalencia y orden.
- Entender los conjuntos cociente y saber trabajar con ellos.
- Manipular los conceptos básicos de teoría de conjuntos tal como aparecen en el índice de materias.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Resolver congruencias y calcular raíces de polinomios.
- Utilizar el cálculo simbólico para resolver congruencias y calcular raíces de polinomios.
- Utilizar los métodos de algunas demostraciones para efectuar cálculos concretos: resolución de ecuaciones diofánticas y de congruencias, factorización de polinomios de los que se conoce alguna raíz.
Contenido
1. Conjuntos y aplicaciones.
Números complejos.
Lenguaje básico de conjuntos.
Axiomas de Peano. Demostraciones por inducción.
Aplicaciones entre conjuntos. Relación de equivalencia y de órden. Conjunto cociente.
Permutaciones. Descomposición en cicles disjuntos, órdren y signo.
2- Combinatória
Conjuntos finitos/infinitos.
Selecciones ordenadas y no ordenadas, con y sin repetición. Fórmula del binomio.
Principio de inclusión-exclusión.
3. Números enteros y congruencias
División entera. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Identidad de Bézout. Algoritmo de Euclides.
Ecuaciones diofánticas.
Números primos entre si y números primos. Factoritzación en primos.
Congruencias. Congruencias de Euler y de Fermat. Teorema chino del resto.
4. Polinomios
División entera de polinomios. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Identidad de Bézout. Algoritmo de Euclides.
Polinomios irreducibles y polinomios primos entre sí. Descomposición en irreducibles.
Raíces de un polinomio.
Descomposición de polinomios en irreducibles en C[x], R[x], Q[x] y Z/(p)[x].
Metodología
La metodología y las actividades formativas están adaptadas a los objectivos de formación de la matèria: introducir el lenguage matemático, aprender a utilitzarlo correctamente, ver demostraciones y métodes de demostración. Para conseguir los objetivos és importante que el alumno de primer curso vea y entienda el desarrollo de la teoria pero también, y puede ser sobretodo, que intente hacer los ejercicios, escribiendols correctamente, imitando aquello que ha visto en clases de teoría.
Semanlmente tendrán lugar sesiones de problemas y de semianri. En lcases de problemas se discutirán y resolverán en la pizarra algunos de los problemas de las listas que en antelación el estudiante habrá trabajado por sí mismo. En las sessiones de seminario el professor proporcionará material con ejercicois para practicar la redacción de demostraciones. Los alumnos podran preguntar tántas veces como sea necesario al profesor (si no entienden un enunciado, si estan encallados, si quieres una opinión sobre la resulión...), finalmente el professor explicará la resolución de algunos puntos clave.
En algunos seminarios se entregarán al finalizar ejerrcicios que serán corregidos. Ver apartado "Evaluación".
Se tiene que tener presente que la correcta asimilación del temario de esta asignatura requiere por parte del estudiante dedicación, trabajo contínuo y sostenido. De manera indicativa se tendría que trabajar de forma personal tantas horas a la semana como horas de clase tiene la asignatura. En caso de dudas es importante consultar con los profesores ya sea de teoría como de problemas..
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 27 | 1,08 | 5, 10, 11 |
| Clases de teoría | 43 | 1,72 | 3, 4, 6, 8, 2, 9, 13 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Clases de seminario | 20 | 0,8 | |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudio de la teoría y resolución de ejercicios | 122 | 4,88 | 1, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14 |
Evaluación
La evaluación del curso es continuada. La nota se obtiene a través de las siguientes actividades:
1) Entregas de ejercicios de seminarios: se harán 3 entregas, fijadas con antelación. Los estudiantes entregarán una parte del trabajo hecho en el aula, de manera obligatoria. Las dos primeras entregas no cuentan para la nota final, pero un profesor las revisará y devolverá revisadas. Algunos estudiantes podrán ser convocados a una entrevista personal con el professor para revisar sus entregas. El asistir a la entrevista si uno ha sido convocado es obligatorio. La tercera entrega será mas larga y será evaluada para la nota final. El peso del seminario es de 10% de la nota final.
2) Realitzación de ejercicios a través de la plataforma virtual ACME. Los plazos precisos se anunciarán con antelación. Peso es de 10% de la nota final.
5) Examen de recuperación. Aquellos estudiantes que no hallan superado la asignatura con la suma ponderada de las notes de los apartados 1), 2), 3) i 4) anteriores podrán realitzar un examen global de la asignatura. La nota final serà el 80% de la nota de este examen más el 20% de la nota de entregas, correspondiente a los apartados 1) y 2).
6) La cualificación de "no evaluable" se otorgará a quien no se presente al examen final.
7) Matrículas de honor: Después del examen final se otorgarán las matrículas de honor que se consideren claras. Éstas serán ya definitivas. Si el número màximo de matrículas permitidas no se ha agotado, se considerará la possibilidad de otorgar más después del examen de recuperación.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Entregas de problemas en seminarios | 10% | 1 | 0,04 | 1, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14 |
| Examen final | 50% | 4 | 0,16 | 1, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14 |
| Examen parcial | 30% | 4 | 0,16 | 1, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14 |
| Problemas ACME | 10% | 1 | 0,04 | 1, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14 |
| Recuperación de los exámenes | 80% | 3 | 0,12 | 1, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14 |
Bibliografía
Bibliografía fundamental
R. Antoine, R. Camps i J. Moncasi. Introducció a l'àlgebra abstracta amb elements de
matemàtica discreta. Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, núm. 46,
Bellaterra, 2007. {Capítols 1 a 4}.
Otros
M. Aigner i G. M. Ziegler, Proofs from The Book. Springer Verlag, 1999
A. Cupillari, The nuts and bolts of proofs. Elsevier Academic Press, 2005.
E. Bujalance, J.A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez. Problemas de Matemática Discreta. Sanz y Torres, Madrid.
Dorronsoro, J. i Hernández, E. Números grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. 1996.
P.J. Eccles, An introduction to mathematical reasoning, numbers, sets and functions. Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
A. Reventós, Temes diversos de fonaments de les matemàtiques. Apunts.
C. Schumacher, Chapter Zero, Addison Wesley, 2001.
L. E. Sigler, Álgebra, Ed Reverté, Barcelona, 1981