Logo UAB
2021/2022

Equacions en Derivades Parcials: Modelització, Anàlisi i Aproximació Numèrica

Codi: 44211 Crèdits: 6
Titulació Tipus Curs Semestre
4313136 Modelització per a la Ciència i l'Enginyeria / Modelling for Science and Engineering OT 0 2
La metodologia docent i l'avaluació proposades a la guia poden experimentar alguna modificació en funció de les restriccions a la presencialitat que imposin les autoritats sanitàries.

Professor/a de contacte

Nom:
Jaume Llibre Saló
Correu electrònic:
Jaume.Llibre@uab.cat

Utilització d'idiomes a l'assignatura

Llengua vehicular majoritària:
català (cat)

Equip docent

Susana Serna Salichs

Prerequisits

Els estudiants haurien de tenir coneixements bàsics de càlcul, àlgebra, equacions diferencials i en derivades parcials, i habilitats bàsiques de programació.

Objectius

Les equacions diferencials parcials permeten formulacions matemàtiques deterministes de fenòmens en física i enginyeria, així com processos biològics entre 
molts altres escenaris. 
L’objectiu d’aquest curs és presentar els principals resultats en el context d’equacions en derivades parcials que permeten aprendre sobre aquests models i 
estudiar mètodes numèrics per a l’aproximació de la seva solució.

Competències

  • "Aplicar el pensamiento lógico/matemático: el proceso analítico a partir de principios generales para llegar a casos particulares; y el sintético, para a partir de diversos ejemplos extraer una regla general."
  • Analitzar, sintetitzar, organitzar i planificar projectes del seu camp d'estudi. 
  • Aplicar la metodologia de recerca, tècniques i recursos específics per investigar en un determinat àmbit d'especialització.
  • Aplicar les tècniques de resolució dels models matemàtics i els seus problemes reals d'implementació.
  • Comunicar en llengua anglesa els resultats dels treballs de l'àmbit d'estudi.
  • Extreure d'un problema complex la dificultat principal, separada d'altres qüestions d'índole menor.
  • Formular, analitzar i validar models matemàtics de problemes pràctics de diferents camps.
  • Resoldre problemes complexos aplicant els coneixements adquirits a àmbits diferents dels originals
  • Usar mètodes numèrics apropiats per solucionar problemes específics.

Resultats d'aprenentatge

  1. "Aplicar el pensament lògic/matemàtic: el procés analític a partir de principis generals per arribar a casos particulars; i el sintètic, para a partir de diversos exemples extreure una regla general."
  2. Analitzar, sintetitzar, organitzar i planificar projectes del seu camp d'estudi. 
  3. Aplicar la metodologia de recerca, tècniques i recursos específics per investigar en un determinat àmbit d'especialització.
  4. Aplicar tècniques d'equacions en derivades parcials per predir el comportament futur de certs fenòmens.
  5. Comunicar en llengua anglesa els resultats dels treballs de l'àmbit d'estudi.
  6. Extreure d'un problema complex la dificultat principal, separada d'altres qüestions d'índole menor.
  7. Extreure informació dels models en derivades parcials per interpretar la realitat.
  8. Identificar fenòmens reals com a models d'equacions en derivades parcials.
  9. Resoldre problemes complexos aplicant els coneixements adquirits a àmbits diferents dels originals
  10. Resoldre problemes reals identificant-los adequadament des de l'òptica d'equacions en derivades parcials.
  11. Utilitzar els mètodes numèrics apropiats que permetin estudiar fenòmens modelats amb equacions en derivades parcials.

Continguts

Introducció: classificació general de les equacions en derivades parcials, exemples de models. Equació de transport, mètode de característiques.

										
											1. Equacions parabòliques

										
											Mètode de Fourier. Equació de calor. Solució fonamental, nucli de Gauss, convolució i fórmula de solució per a el problema de valor inicial pur. Principi màxim
 i singularitat de la solució. Mètodes numèrics: mètodes de diferències finites per a equacions parabòliques escalars: Euler explícit, Euler i implícita Mètodes 
Crank-Nicolson: prova d'estabilitat de Von Neumann.  Condició de CFL d'estabilitat parabòlica. Exemples.

										
											2. Equacions el·líptiques

										
											Teoria: problemes d'estat constant. Coordenades polars / esfèriques: solucions radials. Límit de Dirichlet i Neumann problemes de valor. Kernel de Poisson. 
Aplicacions.  Equacions d’Euler-Lagrange associades a problemes variacionals. Numèrics i exemples.

										
											3. Equacions hiperbòliques

										
											Lleis de conservació escalar. Solucions febles. Equació de Burgers. Ventiladors d’onades de xoc i expansions. Equacions de Hamilton-Jacobi i solucions de
 viscositat. Introducció al mètode del conjunt de nivells. Equació eikonal.

										
											Mètodes numèrics: mètodes de diferències finites en forma de conservació. Esquemes de captura de cops. Monòton esquemes: Lax-Friedrichs i esq uemes
 de vent. Condicions de convergència i estabilitat. Satisfacció de l'entropia esquemes. Exemples. Aplicacions de mètodes de nivell.
 

Metodologia

L'objectiu de les classes de teoria, problemes i pràctiques es donar als alumnes els coneixements mes bàsics de les equacions en derivades parcials i les seves aplicacions.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.

Activitats formatives

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Tipus: Dirigides      
Classes de teoria i problemes 30 1,2 7, 8, 10
Tipus: Supervisades      
Classes de pràctiques 8 0,32 11
Tipus: Autònomes      
Estudis i treballs pràctics per part de l'alumne. 96 3,84 7, 8, 10

Avaluació

Si el curs es pot fer presencial l'avaluació consistira en dos exàmens parcials i en l'entrega de la resolució de un problema mitjançant l'ordinador.

En cas que no es pugues fer el curs presencialment, aleshores els dilluns de cada setmana els alumnes rebran per e-mail els apunts i exercices a estudiar i fer durant aquella setmana, i els divendres rebran els exercicis results. I l'avaluació de l'assignatura és fera fent un treball mitjançant l'ordinador.

Activitats d'avaluació

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Primer examen parcial 30% 4 0,16 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
Segon examen parcial 30% 4 0,16 10
Solució de un problema amb ordinador 40% 8 0,32 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Bibliografia

L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (2nd ed.), Providence, R.I., American Mathematical Society, (2010).


B. Gustafson, H-O. Kreiss and J. Oliger, Time dependent problems and Difference Methods, Wiley-Intersciences, (1996).


F. John, Partial Differential equations, vol. 1, Applied Math Sciences, Springer, (1978).


P.D. Lax, Hyperbolic systems of Conservation Laws and The Mathematical Theory of Shock Waves SIAM, 1973.


R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.


Y.Pinchover, J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge 2005.


S. Salsa, Partial differential equations in action : from modelling to theory Springer, 2008.


G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, (1986).


E.F. Toro Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A practical Introduction, Springer-Verlag, 2009.


G.B. Whitham Linear and nonlinear Waves, Wiley-Intersciences, (1999).

Programari

Deixem plena llibertat als alumnes per que utilitzin el llenguatge que els hi vagi millor per a fer els exercicis numèrics d'aquesta assignatura.