Objectius

Aquesta assignatura conté un primer tema d'introducció al càlcul de nombres complexos, i la resta de l'assignatura té continguts bàsics d'àlgebra lineal com són:

-- Sistemes d’equacions lineals i matrius.

-- Vectors a Rⁿ .

-- Aplicacions lineals.

-- Vectors propis, valors propis i diagonalització

-- Aplicacions de la diagonalització

Coneixements

-- Conèixer el nombres complexos i les seves diferents expressions. Coneixer les operacionsa amb els nombres complexos, i les arrels dels nombres complexos.

-- Saber que és un sistema d’equacions lineals. Conèixer els mètodes de resolució dels sistemes, a saber el mètode d’eliminació gaussiana. Entendre que vol dir discutir un sistema en el qual hi hagi diversos paràmetres.

-- Saber que és una matriu i quines operacions es poden fer entre elles, prestant especial atenció al producte. Entendre el concepte de matriu invertible i la seva relació amb el rang de la matriu. Saber utilitzar el mètode Gauss-Jordan per a calcular la inversa, si en té, d’una matriu.

-- Conèixer les propietats del càlcul del determinant d’una matriu quadrada. Entendre la relació entre determinants i matrius invertibles. Saber utilitzar els determinants apropiadament.

-- Entendre com s’opera amb vectors. Saber que és un subespai vectorial de Rⁿ i de quines maneres es pot definir.

-- Entendre el concepte de vectors linealment dependents i linealment independents. Saber que és un sistema de generadors. Interpretació el rang en termes de la independència lineal de vectors. Entendre els conceptes de  la dimensió d’un subespai vectorial.Comprendre si la intersecció, la unióo la suma de subespais son un subespai. Saber que son les components d’un vector en una base de Rⁿ i com varien al canviar-la.

-- Tenir molt clar el concepte d’aplicació entre conjunts arbitraris i els diferents tipus d’aplicacions: injectives, exhaustives i bijectives. Entendre bé el concepte de composició d’aplicacions i el concepte d’aplicació inversa.

-- Saber que donada cada matriu ens defineix una aplicació lineal entre espais Rⁿ i R^m. Tenir clara la definició dels subespais nucli i imatge d’una aplicació lineal i la seva relació amb la injectivitat, exhautivitat de l’aplicació. Entendre la relació entre graus de llibertat d’un sistema homogeni i la fórmula de les dimensions.

-- Comprendre el paral·lelisme entre matrius i aplicacions lineals respecte al producte i la composició.

-- Saber qué és un valor propi i un vector propi associat a un endomorfisme o a una matriu quadrada. Saber calcular el supespai de vectors propis. Entendre bé que vol dir que un endomorfisme o una matriu quadrada diagonalitzin

Habilitats

-- Saber expressar un nombre complex en forma cartesiana i en forma polar. Saber operar amb nombres complexos. Saber calcular les arrels d'un nombre complex.

-- Saber resoldre un sistema d’equacions lineals on solament hi apareixen números. Saber discutir un sistema d’equacions lineals on apareixen  paràmetres.

-- Tenir destresa en càlcul amb matrius fent especial atenció en el producte de matrius i en el càlcul d’inverses. Saber resoldre una equació simbòlica amb matrius. Tenir pràctica en el càlcul del rang d’una matriu.

-- Saber calcular determinants on apareixen números i paràmetres fent més atenció en l’ús de les propietats que no pas en regles rutinàries.

-- No tenir dificultats en saber quan uns vectors v₁,v₂,...,v_p  són linealment (in)dependents. En el cas de ser linealment dependents saber trobar combinacions de dependència.

-- Saber definir un subespai per equacions i per sistemes de generadors i passar d’un a l’altre. Saber trobar bases de subespais que són intersecció o suma d’altres. Saber canviar de base.

-- No tenir dificultats en trobar les bases del nucli i la imatge d’una aplicació lineal, encara que aquesta contingui, com a màxim, un paràmetre en la seva definició.

-- Saber discutir si una aplicació lineal és injectiva, o exhaustiva o bijectiva. En el cas que l’aplicació lineal tingui inversa saber trobar-la.

-- Saber calcular els valors propis i els subespai de vectors propis associats a un endomorfisme. Saber discutir si un endomorfisme és diagonalitzable o no, i en cas de ser-ho saber trobar una expressió diagonal i les matrius de canvi de base.

-- Saber resoldre equacions diferencials lineals i sistems d'equacions diferencials lineals de primer ordre.