Titulaciķ | Tipus | Curs | Semestre |
---|---|---|---|
2500149 Matemātiques | OT | 4 | 0 |
És convenient que l’alumne hagi seguit un curs previ d’equacions diferencials ordinàries així com un de càlcul vectorial. També és interessant una certa cultura de física general.
L’assignatura d’Equacions en derivades parcials es dedicarà a estudiar i ampliar els coneixements d’una de les eines matemàtiques més importants en les aplicacions de les matemàtiques en la ciència i la tecnologia. Basant-nos en les destreses adquirides a l’assignatura d’Equacions Diferencials i Modelització II, farem una introducció general d’algunes de les equacions en derivades parcials més importants en el desenvolupament històric de les matemàtiques i de la física, alhora que recordarem algunes eines de càlcul vectorial importants per a la matèria.
Després d'això, el primer gran objectiu de l’assignatura seran les equacions de primer ordre no lineals, com les lleis de conservació. Amb aquesta meta estudiarem primer els aspectes més bàsics del mètode de les característiques per les equacions quasi-lineals. Algunes de les aplicacions d'aquests models, com l’equació del trànsit, s’utilitzaran per visualitzar les dificultats de la modelització i l’aparició de manera natural de solucions en sentit generalitzat, com ara xocs i ones d’enrariment.
L’altre objectiu principal seran els aspectes bàsics de les equacions lineals “típiques” de segon ordre de la física matemàtica: potencial, calor i ones.
1. Introducció a les equacions en derivades parcials
1.1. Les equacions en derivades parcials a la Ciència, a la Tecnologia i a les Finances.
1.2. Conceptes bàsics: ordre, linealitat.
1.3. Elements d’Anàlisi vectorial: operadors diferencials. Els teoremes de Green, de la divergència de Gauss i de Stokes.
1.4. Equacions de la Física-Matemàtica: l’equació de la calor, l’equació de les ones, l’equació del potencial. Condicions inicials i condicions de contorn. Problemes estacionaris.
2. Equacions en derivades parcials de primer ordre
2.1. Equacions en derivades parcials de primer ordre lineals i quasilineals amb dues variables. El mètode de les característiques. El problema de valor inicial.
2.2. Introducció a les lleis de conservació. L’equació del trànsit. Alguns problemes de valor inicial. Ones d’enrariment i xocs. Condició d’entropia.
2.3. Equacions no lineals de primer ordre.
3. Equacions en derivades parcials semilineals de segon ordre
3.1. Formes canòniques de les equacions semilineals de segon ordre amb dues variables. Classificació.
4. L’equació de les ones
4.1. Ones unidimensionals. Fórmula de d’Alembert. Zones d’influència i de dependència. Reflexions.
4.2. L’equació de les ones en dimensió 2 i 3.
5. L’equació de la calor
5.1. L’equació de la calor a l’espai. La fórmula de Poisson. Regularitat
5.2. El principi del màxim. Unicitat de solució.
6. L’equació del potencial
6.1. Les funcions harmòniques. Propietats.
6.2. Els problemes de Dirichlet i de Neumann. Unicitat de solució
6.3. Funcions de Green
6.4. El principi de Dirichlet i els mètodes variacionals
Aquesta assignatura consta de 2 hores setmanals de classe de teoria, una de problemes i tres seminaris de dues hores cadascun.
A les classes de teoria s'exposaran els diversos tipus d'equacions en derivades parcials, la seva derivació, les propietats característiques de cada tipus d'equació, els mètodes de resolució i els diversos conceptes de solució.
Les classes de problemes es dedicaran a la resolució de problemes de caràcter pràctic que els alumnes desenvoluparan a la pissarra. Per a això es treballarà sobre llistes de problemes que s’aniran proporcionant prèviament a l’alumne al llarg del quadrimestre i que també es penjaran a la pàgina web.
També es realitzaran tres seminaris de dues hores cadascun, on s'aprofondiran temes específics i es resoldrà un problema de manera guiada.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulaciķ, per a la complementaciķ per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluaciķ de l'actuaciķ del professorat i d'avaluaciķ de l'assignatura/mōdul.
Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
---|---|---|---|
Tipus: Dirigides | |||
Classes de teoria | 30 | 1,2 | |
Tipus: Supervisades | |||
Classes de problemes i seminaris | 21 | 0,84 | |
Tipus: Autōnomes | |||
Estudi | 50 | 2 | |
Resoluciķ de problemes | 34 | 1,36 |
En principi, l’assignatura s’avaluarà mitjançant dos exàmens parcials, que comptaran un 40% cadascun, i l'avaluació dels seminaris, que comptarà un 20%. Tanmateix, caldrà complir la condició que les notes obtingudes en els exàmens parcials siguin ambdues superiors o iguals a 3,5. Si no es compleix aquesta condició, o bé la nota que s'obté és inferior a 5, llavors es podrà optar a un examen de recuperació que substituirà els dos exàmens parcials i comptarà un 80%. L'avaluació dels seminaris no és recuperable.
Les possibles matrícules d'honor s'assignaran en base a les notes globals que resultin dels dos examens parcials i els seminaris, és a dir, sense esperar a l'examen de recuperació. Si això no esgotés el nombre de matrícules d'honor disponibles, aleshores les restants podran ser assignades després de l'examen de recuperació.
Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
---|---|---|---|---|
Primer examen parcial | 40 per cent | 4,5 | 0,18 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
Segon examen parcial | 40 per cent | 4,5 | 0,18 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
Seminaris | 20 per cent | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
L. C. Evans, Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics 19. AMS, 1998.
F. John, Partial Differential Equations. Springer-Verlag, 1980.
I. Peral, Primer Curso de EDPs. Addison-Wesley-UAM, 1995.
J. Ockendon, S. Howison, A. Lacey, A. Movchan. Applied partial differential equations. Oxford University Press, 2003.
Y. Pinchover, J. Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge, 2005.
M. Renardy, R.C. Rogers. An Introduction to partial differential equations. Springer, 2004.
S. Salsa, Partial Differential Equations in action: from modelling to theory. Springer, 2008.
W. A. Strauss. Partial Differential Equations: An Introduction. John Wiley & Sons,1992.
A.N. Tijonov, A.A. Samarsky. Ecuaciones de la física matemática. Mir, 1983.
E.H. Zauderer. Partial differential equations of applied mathematics. Wiley-Interscience, 2006
No hi ha cap programari específic.