2021/2022
Topología
Código: 100106 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 2500149 Matemáticas | OB | 3 | 1 |
La metodología docente y la evaluación propuestas en la guía pueden experimentar alguna modificación en función de las restricciones a la presencialidad que impongan las autoridades sanitarias.
Contacto
- Nombre:
- Natalia Castellana Vila
- Correo electrónico:
- Natalia.Castellana@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- catalán (cat)
- Algún grupo íntegramente en inglés:
- No
- Algún grupo íntegramente en catalán:
- Sí
- Algún grupo íntegramente en español:
- No
Otras observaciones sobre los idiomas
La lengua vehicular es el catalán pero es posible que parte del profesorado de la asignatura asignado a problemas/seminarios utilize el castellano. Parte del material complementario de la asignatura se ofrecerá en inglés.Equipo docente
- Guillermo Carrión Santiago
Prerequisitos
La experiencia en la docencia de esta asignatura demuestra que es extraordinariamente importante que el alumno haya asimilado, antes de iniciar
el curso, los fundamentos básicos de lo que es el razonamiento matemático deductivo.
Hay que tener experiencia en el método axiomático, hay que conocer los principios más básicos de la lógica matemática, conviene estar familiarizado
con lo que es un razonamiento matemático correcto y lo que no lo es, con los diversos paradigmas de la demostración matemática (reducción al
absurdo, aportación de un contraejemplo, paso al contrarecíproc, etc.). Hay que estar familiarizado en la negación de una proposición, en el uso de
los cuantificadores ("existe un x tal que", "para todo x se cumple tal cosa") y en la idea de implicación (a implica b, a no implica b, a si y sólo si b).
Como buena parte de la asignatura se basa en reformular desde un punto de vista más general una serie de conceptos que se conocen en el contexto
de los espacios métricos, es importante que el alumno tenga un buen dominio de la topología de los espacios métricos y, en particular, la topología del espacio euclidiano.
Objetivos y contextualización
El objetivo principal del curso es que el alumno comprenda que una topología en un conjunto
es la estructura natural para tratar la idea básica de la continuidad.
Hay problemas, formulados inicialmente sobre objetos geométricos, que no dependen de
distancias, ángulos o de alineaciones, sino de una especie de conexión continua entre los
puntos que componen el objeto. Son los problemas topológicos. El concepto
de espacio topológico, de manera análoga a como el concepto de espacio vectorial surgió
para modelar los espacios euclídeos, en un principio quería modelar los objetos geométricos
como, por ejemplo, las superficies, pero pronto trascendió este marco y
rápidamente la topología se hizo presente (e indispensable) en todas las ramas de las Matemáticas.
Estudiaremos conceptos que el alumno ya conoce en el caso de los espacios métricos. Hablaremos
de abiertos y cerrados, de continuidad y espacios compactos. Puede parecer, pues, que este curso
es una repetición gratuita de cosas conocidas. Es de esperar, sin embargo, que el alumno se dé
cuenta que este nuevo punto de vista es mucho más general y, principalmente,
mucho más flexible, que el punto de vista métrico.
Competencias
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Demostrar una elevada capacidad de abstracción.
- Identificar las ideas esenciales de las demostraciones de algunos teoremas básicos y saberlas adaptar para obtener otros resultados.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
Resultados de aprendizaje
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Construir ejemplos de espacios topológicos usando las nociones de subespacio topológico, espacio producto y espacio cociente.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Reconocer topológicamente las superficies compactas y su clasificación.
- Utilizar los conceptos básicos asociados a las nociones de espacio métrico y espacio topológico: compacidad y conexión.
Contenido
- Aplicaciones contínuas entre espacios métricos.
- Axiomática de espacio topológico.
- Entornos, interior, adherencia.
- Aplicaciones continuas.
- Subespacios topológicos.
- La topologia producto.
- La topologia cociente.
- Espacios compactos.
- Espacios de Hausdorff.
- Conexión.
- El concepto de variedad.
- El teorema de clasificación de les superficies compactas.
Metodología
El número de horas dirigides que se describen a continuación pueden verse afectadas y modificadas
por la medidas decretadas por las autoridades en la situación actual.
Hay tres tipos de actividades a las que se supone que asiste el estudiante: las clases de teoria
(2 horas / semana), principalmente relacionadas con la descripción de los conceptos teóricos,
las sesiones de resolución de problemas (1 hora / semana) y los seminarios (6 horas en tres semanas),
similares a las sesiones de resolución de problemas pero donde los estudiantes trabajan en grupos
supervisados por el profesor. El curso tiene una página web en el campus en línea de la UAB que recopila toda la información
y las comunicaciones entre estudiantes y profesores, y donde se publica con regularidad todo
el material, incluidas las hojas de problemas, algunas soluciones, etc. Los estudiantes deben presentar ejercicios para ser evaluados.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 15 | 0,6 | |
| Clases de teoria | 30 | 1,2 | |
| Seminarios | 6 | 0,24 | |
| Tipo: Autónomas | |||
| Tiempo de estudio personal | 88 | 3,52 |
Evaluación
Habrá una evaluación específica de la actividad desarrollada en los seminarios, que contará
un 20% de la nota final. Habrá dos pruebas escritas: un examen parcial a mitad del semestre (30% de la nota final)
y un examen final (50% de la nota final).
Si la nota del final es mejor, esta contará el 80% y no contará la del parcial (esta última norma
no se aplica para asignar las matrículas de honor). Hay que sacar un mínimo de 4 en el examen final (o en la prueba complementaria) para aprobar
la asignatura en la evaluación continuada. Los estudiantes que quieran mejorar la nota que han obtenido con esta evaluación continuada,
podrán presentarse a una prueba escrita complementaria. En este caso, la nota final definitiva
se obtendrá a partir de la nota de seminarios (20%), y la nota de esta prueba complementaria (80%). Se considerará que un alumno ha presentado a la asignatura si ha realizado actividades de
evaluación que representen un peso igual o superior al 50% de la nota final del curso. La concesión de la calificación de "matrícula de honor" se hará con posterioridad a todas las
actividades de evaluación.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Evaluación de seminarios | 20% | 3 | 0,12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Examen Final | 50% | 4 | 0,16 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Examen parcial | 30% | 4 | 0,16 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 |
Bibliografía
Bibliogafia básica:
- Jaume Aguadé, Apunts d'un curs de topologia elemental. http://mat.uab.es/~aguade/teaching.html
- Czes Kosniowski, A first course in algebraic topology. Cambridge University Press 1980.
Bibliografia superfícies compactas:
- William S. Massey, A basic course in algebraic topology. Springer-Verlag 1991.
- John M. Lee, Introduction to topological manifolds, Graduate Text in Mathematics 202, Springer, 2011
Bibliografia más completa:
- James Munkres, General Topology, Prentice-Hall, 2000.
- Rysarzd Engelking, General Topology, Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, 1989.
Recursos libres online:
- Marta Macho-Stadler, Topología, https://www.ehu.eus/~mtwmastm/Topologia1415.pdf
- Jesper Moller, General Topology, http://web.math.ku.dk/~moller/e03/3gt/notes/gtnotes.pdf
- O. Viro, O Ivanov, N. Netsvetaev, V. Kharlamov, Elementary Topology Problem Textbook,
http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/eng-book-nopfs.pdf
P. Pascual i A. Roig. Topologia. Edicions UPC, 2004. (Capitol 3.)
Un punto de vista diferente con aplicaciones:
- Colin Adams, Robert Franzosa, Introduction to Topology: Pure andApplied, Prentice-Hall, 2008
Software
Las entregas de los seminarios se realizaran en TeX. De forma excepcional y como pureba piloto, los alumnos que lo deseen y de forma voluntaria podran inicirase en
el asistene de demostraciones Lean y resolver ejercicios del curso.