2020/2021
Ecuaciones en Derivadas Parciales: Modelización, Análisis y Aproximación Numérica
Código: 44211 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso | Semestre |
|---|---|---|---|
| 4313136 Modelización para la Ciencia y la Ingeniería / Modelling for Science and Engineering | OT | 0 | 2 |
La metodología docente y la evaluación propuestas en la guía pueden experimentar alguna modificación en función de las restricciones a la presencialidad que impongan las autoridades sanitarias.
Contacto
- Nombre:
- Jaume Llibre Saló
- Correo electrónico:
- Jaume.Llibre@uab.cat
Uso de idiomas
- Lengua vehicular mayoritaria:
- catalán (cat)
Equipo docente
- Joan Carles Artés Ferragud
Prerequisitos
Los estudiantes deben tener conocimientos básicos de cálculo, algebra, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, y habilidades básicas en programación.
Objetivos y contextualización
Las ecuaciones diferenciales parciales permiten formulaciones matemáticas deterministas de fenómenos en física e ingeniería, así como procesos biológicos, entre muchos otros escenarios.
El objetivo de este curso es presente los principales resultados en el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales que permiten aprender spbre estos modelos y estudiar métodos
numéricos para la aproximación de su solución.
Competencias
- "Aplicar el pensamiento lógico/matemático: el proceso analítico a partir de principios generales para llegar a casos particulares; y el sintético, para a partir de diversos ejemplos extraer una regla general."
- Analizar, sintetizar, organizar y planificar proyectos de su campo de estudio.
- Aplicar la metodología de investigación, técnicas y recursos específicos para investigar en un determinado ámbito de especialización.
- Aplicar las técnicas de resolución de los modelos matemáticos y sus problemas reales de implementación.
- Comunicar en lengua inglesa los resultados de los trabajos del ámbito de estudio.
- Extraer de un problema complejo la dificultad principal, separada de otras cuestiones de índole menor.
- Formular, analizar y validar modelos matemáticos de problemas prácticos de distintos campos.
- Resolver problemas complejos aplicando los conocimientos adquiridos a ámbitos distintos de los originales
- Usar métodos numéricos apropiados para solucionar problemas específicos.
Resultados de aprendizaje
- "Aplicar el pensamiento lógico/matemático: el proceso analítico a partir de principios generales para llegar a casos particulares; y el sintético, para a partir de diversos ejemplos extraer una regla general."
- Analizar, sintetizar, organizar y planificar proyectos de su campo de estudio.
- Aplicar técnicas de ecuaciones en derivadas parciales para predecir el comportamiento futuro de ciertos fenómenos.
- Aplicar la metodología de investigación, técnicas y recursos específicos para investigar en un determinado ámbito de especialización.
- Comunicar en lengua inglesa los resultados de los trabajos del ámbito de estudio.
- Extraer de un problema complejo la dificultad principal, separada de otras cuestiones de índole menor.
- Extraer información de los modelos en derivadas parciales para interpretar la realidad.
- Identificar fenómenos reales como modelos de ecuaciones en derivadas parciales.
- Resolver problemas complejos aplicando los conocimientos adquiridos a ámbitos distintos de los originales
- Resolver problemas reales identificándolos adecuadamente desde la óptica de ecuaciones en derivadas parciales.
- Utilizar los métodos numéricos apropiados que permitan estudiar fenómenos modelados con ecuaciones en derivadas parciales.
Contenido
Introducción: Clasificación general de ecuaciones diferenciales parciales, ejemplos de modelos. Ecuación de transporte, Método de las características.
1. Ecuaciones parabólicas.
Método de Fourier. Ecuación de calor. Solución fundamental, kernel gaussiano, fórmula de convolución y solución para El problema del valor inicial puro. Principio máximo y
singularidad de la solución. Métodos numéricos: Métodos de diferencias finitas para ecuaciones parabólicas escalares: Euler explícito, Euler implícito yMétodos de manivela-Nicolson:
prueba de estabilidad de Von Neumann. Estabilidad parabólica CFL. Ejemplos.
2. Ecuaciones elípticas.
Teoría: Problemas del estado estacionario. Coordenadas polares / esféricas: soluciones radiales. Dirichlet y el límite de Neumann problemas de valor. Kernel de poisson.Aplicaciones
Ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a problemas variacionales. Numéricos y ejemplos.
3. Ecuaciones hiperbólicas.
Leyes de conservación escalar. Soluciones débiles. Ecuación de hamburguesas. Ondas de choque y fanáticos de las expansiones. Ecuaciones de Hamilton-Jacobi y soluciones
de viscosidad. Introducción al Método de Ajuste de Nivel. Ecuación eikonal.
Métodos numéricos: Métodos de diferencias finitas en forma de conservación. Esquemas de captura de golpes. Monótono esquemas: Lax-Friedrichs y esquemas contra el viento.
Condiciones de convergencia y estabilidad. Entropy-satisfactorio esquemas. Ejemplos: Método de ajuste de nivel de aplicaciones.
Metodología
El objetivo de las clases de teoría, problemas y prácticas es dar a los alumnos los conocimientos más básicos de las ecuaciones en derivadas parciales y sus aplicaciones.
Actividades
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de teoria y problemas | 30 | 1,2 | 7, 8, 10 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Clases de pràctiques | 8 | 0,32 | 11 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Estudios y trabajos pràcticos por parte del alumno. | 96 | 3,84 | 7, 8, 10 |
Evaluación
La evaluación consistirá en dos exámenes parciales y en la entrega de la resolución de un problema mediante el ordenador.
Actividades de evaluación
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Primer examen parcial | 40% | 4 | 0,16 | 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 |
| Segundo examen parcial | 40% | 4 | 0,16 | 10 |
| Solución de un problema con ordinador | 20% | 8 | 0,32 | 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
Bibliografía
L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (2nd ed.), Providence, R.I., American Mathematical Society, (2010).
B. Gustafson, H-O. Kreiss and J. Oliger, Time dependent problems and Difference Methods, Wiley-Intersciences, (1996).
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R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.
Y.Pinchover, J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge 2005.
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G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, (1986).
E.F. Toro Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A practical Introduction, Springer-Verlag, 2009.
G.B. Whitham Linear and nonlinear Waves, Wiley-Intersciences, (1999).